【最少拍&大林算法】从“一步到位”到“平滑过渡”

从“一步到位”到“平滑过渡”：深入浅出最少拍与大林控制算法

在自动化控制的世界里，我们的终极目标通常很朴素：让一个系统（比如房间的温度、汽车的速度、机械臂的位置）听我们的话，精确地达到我们设定的目标值。PID 控制器是这个领域的常青树，它简单、有效，几乎无处不在。

但是，当我们的控制器从模拟电路变成了计算机程序，进入了“数字控制”的时代，我们就有了更广阔的的想象空间。计算机按照固定的节拍（采样周期）工作，这让我们能设计出一些在模拟世界里难以想象的精妙算法。

今天，我们就来聊聊两种非常有代表性的数字控制算法：最少拍控制（Deadbeat Control） 和 大林算法（Dahlin’s Algorithm）。

它们的设计思想非常巧妙，一个追求极致的“快”，力求在最短的时间内“一步到位”；另一个则在“快”的基础上，增加了“稳”的考量，追求“平滑过渡”。理解了它们，你对数字控制的理解会迈上一个全新的台阶。

一、故事的起点：数字控制的世界观

在深入算法之前，我们必须先统一“世界观”。想象一下，你正在玩一个像素风格的老游戏，你控制的角色只能在屏幕上的一个个格子里跳动，而不能像现实世界一样平滑地移动。

数字控制系统眼中的世界，就是这样的“像素格子”世界。它不像模拟控制器那样持续不断地观察和调整，而是每隔一个固定的时间（称为采样周期 T），看一眼系统的当前状态，然后计算一下接下来该做什么。

• 采样（Sampling）：每隔 T 秒，用传感器测量一次系统状态（如温度、速度），把连续变化的物理量变成一个离散的数字。
• 计算（Computation）：控制器（你的电脑或单片机）根据这个数字，和你的设定目标，运行控制算法，得出一个控制指令（如加热器的功率、电机的电压）。
• 保持（Holding）：这个控制指令会一直保持不变，直到下一个采样周期到来，控制器才会根据新的测量值计算出新的指令。这个过程通常由“零阶保持器”完成。

这个“采样-计算-保持”的循环，就是数字控制的核心。

认识数字世界的“语言”：Z变换

在模拟控制中，我们用拉普拉斯变换（s域）来分析系统。到了数字控制，我们有了一个新工具：Z变换。

别怕，我们不深入复杂的数学推导。你只需要记住一个核心思想：Z变换是数字世界的“语言”，它有一个神奇的“时光机”操作符：$z^{-1}$。

$z^{-1}$ 的含义是：将一个信号延迟一个采样周期 T。

举个例子，假设 $u(k)$ 是我们在“当前”这个时间点（第k个采样周期）计算出的控制指令。
那么：

• $z^{-1}u(k)$ 就代表上一个时间点（第k-1个采样周期）的控制指令 $u(k-1)$。
• $z^{-2}u(k)$ 就代表上上个时间点（第k-2个采样周期）的控制指令 $u(k-2)$。

是不是很简单？$z^{-1}$ 就是一个“回溯”一拍的指令。有了这个工具，我们就可以把描述系统动态的微分方程，转换成只包含加减乘除和延迟的代数方程（称为差分方程），计算机处理起来就得心应手了。

一个被控对象（比如一个加热炉），在模拟世界里我们用传递函数 $G(s)$ 来描述它。经过“采样”和“零阶保持器”的数字化处理后，它在数字世界里的等效模型就变成了脉冲传递函数 $G(z)$。

我们的任务，就是设计一个数字控制器 $D(z)$，去控制这个 $G(z)$。

上图是一个典型的数字控制系统闭环框图。

• $R(z)$ 是我们给定的目标值（Setpoint），比如我们希望温度达到80度。
• $Y(z)$ 是系统的实际输出值（Output），比如当前炉子的实际温度。
• $E(z)$ 是误差，即 $E(z)=R(z)-Y(z)$。
• $D(z)$ 是我们设计的数字控制器，它的输入是误差 $E(z)$，输出是控制量 $U(z)$。
• $G(z)$ 是被控对象的脉冲传递函数。

根据这个图，我们可以推导出整个闭环系统的传递函数 $\Phi (z)$：

$$\Phi (z)=\frac{Y(z)}{R(z)}=\frac{D(z)G(z)}{1+D(z)G(z)}$$

这个公式是所有设计的核心！我们的目标就是：通过精心设计 $D(z)$，让我们想要的闭环响应 $\Phi (z)$ 得以实现。

换句话说，我们不再像PID那样“盲调”参数，而是先“定义”一个我们心目中最完美的系统响应 ${\Phi }_{des}(z)$（des for desired），然后反推出控制器 $D(z)$ 应该长什么样。

从上面的公式，我们可以反解出 $D(z)$:

$$D(z)=\frac{{\Phi }_{des}(z)}{G(z)(1-{\Phi }_{des}(z))}$$

这个公式就是我们设计算法的“万能钥匙”。接下来，最少拍和大林算法的区别，就在于它们对“最完美的响应”${\Phi }_{des}(z)$ 有着不同的定义。

二、最少拍控制：追求极致速度的“急性子”

最少拍控制（Deadbeat Control），从名字就能听出它的性格：干脆利落，不拖泥带水。它的设计目标是：在设定值 $R(z)$ 发生阶跃变化（比如温度从20度突然要求升到80度）后，系统的输出 $Y(z)$ 要在最少的采样周期数内，精确地达到并稳定在新的设定值上，且后续没有任何误差。

“最少”是多少？这取决于被控对象 $G(z)$ 的“先天延迟”。

一个实际的物理系统，从你给它一个指令到它开始有响应，总会有一个纯粹的延迟时间。在 $G(z)$ 模型中，这通常表现为 $z^{-d}$ 的形式，其中 d 代表延迟了 d 个采样周期。

既然系统先天就要延迟 d 拍，那我们能期待的最快响应，就是在第 d 拍结束后，输出就能一步到位。

最少拍的设计哲学

最少拍算法说：“我想要的完美响应 ${\Phi }_{des}(z)$ 就是纯延迟！”

$${\Phi }_{des}(z)=z^{-d}$$

这个公式是什么意思？我们来看一下。我们希望 $Y(z)={\Phi }_{des}(z)R(z)$。
如果输入是一个阶跃信号（在数字世界里，它的Z变换是 $R(z)=\frac{1}{1-z^{-1}}$），那么输出就是：
$Y(z)=z^{-d}\frac{1}{1-z^{-1}}$。

这个 $Y(z)$ 对应的时域序列，在第 0, 1, …, d-1 拍时，输出都是0。在第 d, d+1, d+2, … 拍开始，输出就恒定为1了。这意味着，系统在 d 拍的延迟后，瞬间就达到了目标值，并且稳稳地保持住，没有任何超调和振荡。

这简直是控制领域的“完美梦想”！

推导最少拍控制器

现在，我们将这个“完美梦想”代入我们的“万能钥匙”公式：

$$D(z)=\frac{{\Phi }_{des}(z)}{G(z)(1-{\Phi }_{des}(z))}=\frac{z^{-d}}{G(z)(1-z^{-d})}$$

我们通常会将对象的传递函数 $G(z)$ 分解成两部分：

$G(z)=G_0(z)\cdot z^{-d}$

其中 $z^{-d}$ 是系统的纯延迟部分，而 $G_0(z)$ 是不包含延迟的“主体”部分。代入上式，得到：

$$D(z)=\frac{z^{-d}}{G_0(z)z^{-d}(1-z^{-d})}=\frac{1}{G_0(z)(1-z^{-d})}$$

这就是最少拍控制器的最终形式。只要我们知道了被控对象的模型 $G(z)$（也就是知道了 $G_0(z)$ 和 d），我们就能直接写出控制器的表达式。

最少拍的“魔鬼细节”：优点与陷阱

最少拍算法看起来如此完美，为什么在实际工业中却不常用呢？因为它是一个典型的“理论上的巨人，实践中的病人”。

优点：

1. 响应神速：在模型完全精确的理想情况下，它能实现理论上最快的无误差跟踪。
2. 设计简单：一旦有了对象模型，控制器设计就是一道代数题，无需像PID那样反复调试。

致命缺陷：

1. 对模型精度要求极高：它是基于模型的控制。如果你的 $G(z)$ 模型有任何一点偏差（哪怕是细微的参数错误），实际效果就会大打折扣，甚至导致系统不稳定。现实中，完美的模型几乎不存在。

2. 控制量可能过大（“猛踩油门”）：为了让输出“一步到位”，控制器可能会在第一个采样周期就计算出一个非常巨大的控制量（比如瞬间把加热器开到200%的功率）。这在物理上往往是不可行的，甚至会损坏设备。

3. 稳态零点问题（ZOHO, Zero-Order Hold Pole/Zero Cancellation）：这是最隐蔽也最危险的问题。在推导 $G(z)$ 的过程中，通常会引入一些不稳定的零点（位于Z平面单位圆外的零点）。最少拍控制器在设计时，会试图“抵消”掉 $G(z)$ 的所有零极点。如果它试图抵消一个不稳定的零点，会导致控制器本身变得不稳定，从而在两个采样点之间产生剧烈的振荡，这种现象称为采样间纹波（Intersample Ripple）。

   想象一下，你在像素格子上看，角色每一步都精准地落在目标格子上。但如果你能看到格子之间的“慢动作”，你会发现角色在空中疯狂地抽搐和翻滚，只是恰好在每一拍结束时，它的脚能踩在格子上。这种“疯狂抽搐”对于执行机构（如电机、阀门）是巨大的折磨。

正是因为这些苛刻的条件和潜在的风险，最少拍算法更像是一个理论上的“标杆”，它告诉我们数字控制能达到的极限速度是什么样的。在实践中，我们需要一个更稳重、更宽容的伙伴。

三、大林算法：追求平滑过渡的“稳重派”

如果说最少拍是一个追求极致速度、不计代价的“天才少年”，那么大林算法（Dahlin’s Algorithm）就是一位经验丰富、懂得权衡利弊的“成熟工程师”。

大林算法的设计者 E. B. Dahlin 认识到，在现实世界中，“一步到位”的完美响应不仅难以实现，而且往往没有必要，甚至是有害的。用户通常更关心系统是否能平稳、无超调地达到目标，哪怕稍微慢一点点。

大林算法的设计哲学

大林算法修改了那个“完美梦想”。它说：“我想要的响应，不是瞬间跳变，而是一个像现实世界中一阶惯性系统那样的、平滑的指数级靠近。”

在模拟世界里，一阶系统的响应是 $e^{-t/\lambda }$ 的形式，其中 $\lambda$ 是时间常数，控制着响应的快慢。大林算法就把这个思想搬到了数字世界。

它定义了这样一个理想的闭环响应：

$${\Phi }_{des}(z)=\frac{(1-a)z^{-(d+1)}}{1-a{z}^{-1}}$$

这个公式看起来有点复杂，我们来拆解一下：

• 分母 $1-a{z}^{-1}$：这是核心！它在数字世界里模拟了一个一阶惯性环节。$a$ 是一个可调参数，它的值介于0和1之间，由 $a=e^{-T/\lambda }$ 决定。

  • $\lambda$ 就是我们期望的闭环响应时间常数。$\lambda$ 越大，a 越接近1，系统响应越慢、越平滑。$\lambda$ 越小，a 越接近0，系统响应越快、越激进。
  • 当 $\lambda \to 0$ 时，$a\to 0$，分母变成1，大林算法就无限趋近于最少拍算法了！所以，$\lambda$ 是我们调节系统“快”与“稳”的唯一旋钮。

• 分子 $(1-a)z^{-(d+1)}$：这一部分有两个作用。

  • $z^{-(d+1)}$：这里为什么是 d+1？因为大林算法的响应形式是指数曲线，它不像最少拍那样可以“瞬间完成”，它需要至少一个计算周期来启动这个指数过程。所以总延迟是 d（系统固有延迟）+ 1（算法计算延迟）。
  • $(1-a)$：这是一个增益校正项。它的作用是保证当时间趋于无穷时，系统的稳态增益为1。也就是说，只要你等得足够久，输出 $Y(z)$ 一定能精确地等于输入 $R(z)$，没有稳态误差。

推导大林控制器

同样，我们将大林定义的 ${\Phi }_{des}(z)$ 代入“万能钥匙”公式：

$$D(z)=\frac{{\Phi }_{des}(z)}{G(z)(1-{\Phi }_{des}(z))}$$

代入并化简后，可以得到大林控制器的表达式。我们还是把 $G(z)$ 写成 $G_0(z)z^{-d}$ 的形式：

$$D(z)=\frac{\frac{(1-a)z^{-(d+1)}}{1-a{z}^{-1}}}{G_0(z)z^{-d}(1-\frac{(1-a)z^{-(d+1)}}{1-a{z}^{-1}})}$$

经过一番化简（分子分母同乘以 $(1-a{z}^{-1})$），最终得到：

$$D(z)=\frac{(1-a)z^{-1}}{G_0(z)(1-a{z}^{-1}-(1-a)z^{-(d+1)})}$$

这个公式看起来比最少拍的复杂，但它的内涵却更加丰富和实用。

大林的智慧：如何解决最少拍的陷阱

大林算法通过引入可调参数 $\lambda$ (或 a)，巧妙地规避了最少拍的几大问题：

1. 降低对模型精度的敏感度：当你选择一个较大的 $\lambda$ 时，系统响应变缓，控制作用也变得温和。这种“温和”的策略对模型的小误差有更强的容忍度（鲁棒性）。就像开车，你开得慢一点，即使路况稍微有些预期之外的变化，你也来得及调整。

2. 避免过大的控制量：由于响应曲线是平滑的，控制器计算出的控制量也不会像最少拍那样极端，避免了“猛踩油门”和“猛踩刹车”的情况，保护了物理设备。

3. 处理采样间纹波：大林算法在设计时，同样会面临“坏”零点（不稳定零点和振荡性强的零点）的抵消问题。一个改进版的大林算法会这样做：在计算 $G_0(z)$ 的逆时，并不会把 $G_0(z)$ 的所有零点都抵消掉，而是有选择性地保留那些“坏”的零点。这样虽然会牺牲一点点跟踪速度，但能有效抑制采样间纹波，保证控制过程的平顺。这是一种非常工程化的智慧——有舍才有得。

最少拍 vs. 大林：总结与抉择

你该如何选择？

• 如果你的系统模型非常精确，并且你追求的是绝对的响应速度，不惜一切代价（比如某些高速定位系统），那么最少拍算法是你的理论上限参考。
• 在几乎所有其他的工业应用中，尤其是化工、热工等过程控制领域，大林算法及其变种都是更优越、更实用的选择。它提供了一个关键的调节旋钮 $\lambda$，让工程师可以在“速度”和“平稳性”之间找到最佳的平衡点，这正是工程实践的精髓所在。

结语

从追求“一步到位”的最少拍，到懂得“平滑过渡”的大林，我们看到的是控制算法设计思想的演进。这不仅仅是数学公式的变化，更是从理想化的理论模型走向复杂的工程现实的必然一步。

最少拍算法像一位剑客，追求一击必杀，对剑（模型）和环境（工况）的要求都极为苛刻。而大林算法则更像一位太极宗师，招式圆融，后发制人，讲究的是用最小的力气，达到最稳定、和谐的状态。

掌握了这两种算法，你不仅学会了两种具体的控制器设计方法，更重要的是，你理解了一种核心的设计范式——基于模型的预测控制思想。先定义出你期望的系统行为，然后反推出能实现这一行为的控制器。这是通往更高级控制算法（如模型预测控制MPC）的必经之路。

希望这篇博文能为你打开数字控制世界的一扇新窗。

习题

为了巩固今天学习的知识，这里有几道练习题。

背景：假设我们有一个简单的加热系统，其传递函数模型为：
$G(s)=\frac{e^{-2s}}{5s+1}$
我们选择采样周期 $T=1$ 秒。经过Z变换后，其脉冲传递函数为：
$G(z)=\frac{0.1813z^{-3}}{1-0.8187z^{-1}}$
（提示：这是一个带二阶延迟的一阶系统，总延迟 $d=2+1=3$个采样周期，但为简化计算，我们直接使用给出的 $G(z)$ 模型，其纯延迟为 $d=3$）。

问题1：最少拍控制器设计
根据给定的 $G(z)$，设计一个最少拍控制器 $D(z)$。写出 $D(z)$ 的表达式。

问题2：大林控制器设计
同样针对这个 $G(z)$，设计一个大林控制器。我们期望闭环响应时间常数 $\lambda =4$ 秒。请计算出调节参数 $a$，并写出大林控制器 $D(z)$ 的表达式。

问题3：概念思考
如果在使用问题1中设计的最少拍控制器时，发现执行器（加热器）在开关时动作过于剧烈，几乎是在满功率和零功率之间反复横跳，但采样点上的温度值却很完美。这最可能是什么现象？你会考虑切换到大林控制器吗？为什么？

答案

答案1：
对于最少拍控制器，我们希望闭环响应为 ${\Phi }_{des}(z)=z^{-d}=z^{-3}$。
首先，从 $G(z)$ 中分离出延迟部分和非延迟部分：
$G(z)=\underset{G_0(z)}{\underbrace{\frac{0.1813}{1-0.8187z^{-1}}}}\cdot z^{-3}$
所以，$d=3$ 且 $G_0(z)=\frac{0.1813}{1-0.8187z^{-1}}$。
代入最少拍控制器公式：
$D(z)=\frac{1}{G_0(z)(1-z^{-d})}=\frac{1}{(\frac{0.1813}{1-0.8187z^{-1}})(1-z^{-3})}$
$$D(z)=\frac{1-0.8187z^{-1}}{0.1813(1-z^{-3})}\approx \frac{5.5157(1-0.8187z^{-1})}{1-z^{-3}}$$

答案2：
对于大林控制器，首先计算参数 $a$：
$T=1$, $\lambda =4$。
$a=e^{-T/\lambda }=e^{-1/4}=e^{-0.25}\approx 0.7788$。
期望的闭环响应为：
${\Phi }_{des}(z)=\frac{(1-a)z^{-(d+1)}}{1-a{z}^{-1}}=\frac{(1-0.7788)z^{-(3+1)}}{1-0.7788z^{-1}}=\frac{0.2212z^{-4}}{1-0.7788z^{-1}}$。
代入万能钥匙公式 $D(z)=\frac{{\Phi }_{des}(z)}{G(z)(1-{\Phi }_{des}(z))}$ 进行化简，或者直接使用推导出的最终公式：
$D(z)=\frac{(1-a)z^{-1}}{G_0(z)(1-a{z}^{-1}-(1-a)z^{-(d+1)})}$
$D(z)=\frac{(1-0.7788)z^{-1}}{(\frac{0.1813}{1-0.8187z^{-1}})(1-0.7788z^{-1}-(1-0.7788)z^{-4})}$
$$D(z)=\frac{0.2212z^{-1}(1-0.8187z^{-1})}{0.1813(1-0.7788z^{-1}-0.2212z^{-4})}\approx \frac{1.22z^{-1}(1-0.8187z^{-1})}{1-0.7788z^{-1}-0.2212z^{-4}}$$

答案3：
这种现象最可能是采样间纹波（Intersample Ripple）。
最少拍控制器为了在采样时刻达到完美输出，可能会迫使控制量在两个采样点之间剧烈波动，导致执行器过度磨损。
是的，我会考虑切换到大林控制器。
原因是：大林算法通过引入可调的响应时间常数 $\lambda$，允许我们牺牲一点响应速度来换取整个控制过程的平滑性。通过选择一个合适的 $\lambda$（比如本例中的4秒），可以显著降低控制量的波动幅度，避免采样间纹波，保护执行器，并使整个系统运行更稳定、更鲁棒，这在实际工业应用中通常是更重要的考量。