MIT线性代数第二讲笔记

视频课程入下：
2. Elimination with Matrices.

2.1 消元法求解

例题如下：

$$\{\begin{array}{l}x+2y+z=2\\ 3x+8y+z=12\\ 4y+z=2\end{array}$$

将方程组左侧的系数用矩阵的形式表示，这个方程组如下：

$$\underset{\text{A}}{\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 8& 1\\ 0& 4& 1\end{array}\right]}\ast \underset{\text{X}}{\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]}=\underset{\text{b}}{\left[\begin{array}{c}2\\ 12\\ 2\end{array}\right]}$$

对系数矩阵A进行消元：

1. $ro{w}_2-3\ast ro{w}_1$，使用A的第二行减去第一行的3倍，获得A1
2. $ro{w}_3-2\ast ro{w}_2$，使用A1的第三行减去第二行的2倍，获得A2

$$\underset{\text{A}}{\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 3& 8& 1\\ 0& 4& 1\end{array}\right]}\stackrel{①}{\to }\underset{\text{A1}}{\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 2& -2\\ 0& 4& 1\end{array}\right]}\stackrel{②}{\to }\underset{\text{A2}}{\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 2& -2\\ 0& 0& 5\end{array}\right]}$$

此时，方程组的系数矩阵化简完成，现在将等行右边的结果向量b进行相同的操作：

$$\underset{\text{b}}{\left[\begin{array}{c}2\\ 12\\ 2\end{array}\right]}⟶\underset{\text{b1}}{\left[\begin{array}{c}2\\ 6\\ 2\end{array}\right]}⟶\underset{\text{b2}}{\left[\begin{array}{c}2\\ 6\\ -10\end{array}\right]}$$

所以原方程组就变成了

$$\{\begin{array}{l}x+2y+z=2\\ 3x+8y+z=12\\ 4y+z=2\end{array}⟶\{\begin{array}{l}x+2y+z=2\\ 2y-2z=6\\ 5z=-10\end{array}$$

从而求解出来方程组：

$$\{\begin{array}{l}x=2\\ y=1\\ z=-2\end{array}$$

2.2 矩阵乘法

列变换：

$$\left[\begin{array}{ccc}co{l}_1& co{l}_2& co{l}_3\end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=x\ast co{l}_1+y\ast co{l}_2+z\ast co{l}_3$$

行变换：

$$\left[\begin{array}{ccc}x& y& z\end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{c}ro{w}_1\\ ro{w}_2\\ ro{w}_3\end{array}\right]=x\ast ro{w}_1+y\ast ro{w}_2+z\ast ro{w}_3$$

所以2.1中的例题系数矩阵消元就可以用矩阵的乘法表示：

$$\underset{E_{32}}{\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& -2& 1\end{array}\right]}\underset{E_{21}}{\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -3& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]}\underset{\text{A}}{\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 3& 8& 1\\ 0& 4& 1\end{array}\right]}=\underset{\text{U}}{\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 2& -2\\ 0& 0& 5\end{array}\right]}$$

简写就可以写作$E_{32}\ast (E_{21}\ast A)=U$,$(E_{32}\ast E_{21})\ast A=U$,结合律适用矩阵乘法。

2.3 置换矩阵

行交换：

$$\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}c& d\\ a& b\end{array}\right]$$

列交换

$$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}b& a\\ d& c\end{array}\right]$$

2.4 逆矩阵

$$\underset{E^{-1}}{\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 3& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]}\ast \underset{\text{E}}{\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -3& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]}=\underset{\text{I}}{\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]}$$