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3.7. softmax回归的简洁实现
通过深度学习框架的高级API，能更方便地实现softmax回归模型。
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l
batch_size = 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)
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1）初始化模型参数
softmax回归的输出层是一个全连接层。 因此，为了实现我们的模型， 我们只需在Sequential中添加一个带有10个输出的全连接层。 同样，在这里Sequential并不是必要的， 但它是实现深度模型的基础。 我们仍然以均值0和标准差0.01随机初始化权重。
# PyTorch不会隐式地调整输入的形状。因此，
# 我们在线性层前定义了展平层（flatten），来调整网络输入的形状
net = nn.Sequential(nn.Flatten(), nn.Linear(784, 10))
def init_weights(m):
if type(m) == nn.Linear:
nn.init.normal_(m.weight, std=0.01)
net.apply(init_weights);
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2）重新审视Softmax的实现
在前面， 我们计算了模型的输出，然后将此输出送入交叉熵损失。 从数学上讲，这是一件完全合理的事情。 然而，从计算角度来看，指数可能会造成数值稳定性问题。
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（1）上溢和下溢：
回想一下，softmax 函数 y ^ j = exp ( o j ) ∑ k exp ( o k ) \hat{y}_j = \frac{\exp(o_j)}{\sum_k \exp(o_k)} y^j=∑kexp(ok)exp(oj)。如果 o k o_k ok 中的一些数值非常大，那么 exp ( o k ) \exp(o_k) exp(ok) 可能大于数据类型容许的最大数字，即上溢（overflow）。这将使分母或分子变为 inf（无穷大），最后得到的是 0、inf 或 nan（不是数字）的 y ^ j \hat{y}_j y^j 。在这些情况下，我们无法得到一个明确定义的交叉熵值。
解决上溢的一个技巧是：在继续 softmax 计算之前，先从所有 o k o_k ok 中减去 max ( o k ) \max(o_k) max(ok) 。这里可以看到每个 o k o_k ok 按常数进行的移动不会改变 softmax 的返回值：
y ^ j = exp ( o j − max ( o k ) ) exp ( max ( o k ) ) ∑ k exp ( o k − max ( o k ) ) exp ( max ( o k ) ) = exp ( o j − max ( o k ) ) ∑ k exp ( o k − max ( o k ) ) \hat{y}_j = \frac{\exp(o_j - \max(o_k)) \exp(\max(o_k))}{\sum_k \exp(o_k - \max(o_k)) \exp(\max(o_k))} \\ = \frac{\exp(o_j - \max(o_k))}{\sum_k \exp(o_k - \max(o_k))} y^j=∑kexp(ok−max(ok))exp(max(ok))exp(oj−max(ok))exp(max(ok))=∑kexp(ok−max(ok))exp(oj−max(ok))
在减法和规范化步骤之后，可能有些 o j − max ( o k ) o_j - \max(o_k) oj−max(ok) 具有较大的负值。由于精度受限， exp ( o j − max ( o k ) ) \exp(o_j - \max(o_k)) exp(oj−max(ok)) 将有接近零的值，即下溢（underflow）。这些值可能会四舍五入为零，使 y ^ j \hat{y}_j y^j 为零，并且使得 log ( y ^ j ) \log(\hat{y}_j) log(y^j) 的值为 -inf。反向传播几步后，我们可能会发现自己面对一屏幕可怕的 nan 结果。
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（2）softmax和交叉熵结合：
尽管我们要计算指数函数，但我们最终在计算交叉熵损失时会取它们的对数。通过将softmax和交叉熵结合在一起，可以避免反向传播过程中可能会困扰我们的数值稳定性问题。如下面的等式所示，我们避免计算 exp ( o j − max ( o k ) ) \exp(o_j - \max(o_k)) exp(oj−max(ok))，而可以直接使用 o j − max ( o k ) o_j - \max(o_k) oj−max(ok)，因为 log ( exp ( ⋅ ) ) \log(\exp(\cdot)) log(exp(⋅))被抵消了。
log ( y ^ j ) = log ( exp ( o j − max ( o k ) ) ∑ k exp ( o k − max ( o k ) ) ) = log ( exp ( o j − max ( o k ) ) ) − log ( ∑ k exp ( o k − max ( o k ) ) ) = o j − max ( o k ) − log ( ∑ k exp ( o k − max ( o k ) ) ) . \begin{split}\begin{aligned} \log{(\hat y_j)} & = \log\left( \frac{\exp(o_j - \max(o_k))}{\sum_k \exp(o_k - \max(o_k))}\right) \\ & = \log{(\exp(o_j - \max(o_k)))}-\log{\left( \sum_k \exp(o_k - \max(o_k)) \right)} \\ & = o_j - \max(o_k) -\log{\left( \sum_k \exp(o_k - \max(o_k)) \right)}. \end{aligned}\end{split} log(y^j)=log(∑kexp(ok−max(ok))exp(oj−max(ok)))=log(exp(oj−max(ok)))−log(k∑exp(ok−max(ok)))=oj−max(ok)−log(k∑exp(ok−max(ok))).
我们也希望保留传统的softmax函数，以备我们需要评估通过模型输出的概率。但是，我们没有将softmax概率传递到损失函数中，而是在交叉熵损失函数中传递未规范化的预测，并同时计算softmax及其对数，这是一种类似"LogSumExp技巧"的聪明方式。
loss = nn.CrossEntropyLoss(reduction='none')
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3）优化算法
在这里，我们使用学习率为0.1的小批量随机梯度下降作为优化算法。 这与我们在线性回归例子中的相同，这说明了优化器的普适性。
trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.1)
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4）训练
接下来，我们调用上一节中定义的训练函数，来训练模型。
num_epochs = 10
d2l.train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, trainer)
和以前一样，这个算法使结果收敛到一个相当高的精度，而且这次的代码比之前更精简了。
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5）小结
使用深度学习框架的高级API，我们可以更简洁地实现softmax回归。
从计算的角度来看，实现softmax回归比较复杂。在许多情况下，深度学习框架在这些著名的技巧之外采取了额外的预防措施，来确保数值的稳定性。这使我们避免了在实践中从零开始编写模型时可能遇到的陷阱。
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