一.神经网络
1. 全连接神经网络（Fully Connected Network, FCN）
核心概念：
- 输入层：接收原始数据（如数字、图片像素等） 数字矩阵 。
- 隐藏层：对数据进行计算和变换（可以有多个隐藏层）。
- 输出层：给出最终结果（如分类标签、预测值等）。
计算方式：
每个神经元的输出计算如下：
a=h(w⋅x+b)
- x：输入数据
- w：权重（决定输入的重要程度）
- b：偏置（调整输出的偏移）
- h：激活函数（如 ReLU、Sigmoid，让网络能学习复杂模式）
特点：
- 全连接：每一层的每个神经元都与下一层的所有神经元相连。
- 适合简单任务（如分类数字、预测房价），但处理图像等高维数据时效率较低。
2. 神经网络的训练与优化
核心目标：
找到最佳的 权重（w） 和 偏置（b），让模型的预测尽可能准确。
训练过程：
- 前向传播：输入数据经过网络计算，得到预测值 y。
- 计算误差：用 损失函数（Loss Function） 衡量预测值与真实值的差距。
- 反向传播：从输出层反向调整 w 和 b，让误差变小。
- 优化算法（如梯度下降）：不断更新参数，使模型越来越准。
简单理解：
- 就像学习骑自行车，一开始会摔倒（误差大），但通过不断调整（优化参数），最终能骑得稳（预测准）。
3. 卷积神经网络（CNN）的引入
为什么需要 CNN？
全连接网络在处理图片时：
- 参数太多（一张 100x100 的图片，全连接层可能有上百万参数！）
- 计算太慢，且容易过拟合。
CNN 的核心：卷积核（Filter）
- 作用：像一个小窗口，在图片上滑动，提取局部特征（如边缘、纹理）。
- 优点：
- 参数更少（共享权重，减少计算量）。
- 保留空间信息（适合图像、视频等数据）。
典型结构：
- 卷积层（Convolution）：提取特征
- 池化层（Pooling）：降低数据量（如取最大值或平均值）
- 全连接层（FC）：最终分类或回归
适用场景：
- 图像识别（如人脸检测、物体分类）
- 视频分析、医学影像处理等
总结对比
| 网络类型 | 适用场景 | 核心特点 |
|---|---|---|
| 全连接网络（FCN） | 简单分类、回归（如房价预测） | 所有神经元相连，参数多 |
| 卷积网络（CNN） | 图像、视频等空间数据 | 用卷积核提取特征，参数更高效 |
为什么需要激活函数？
核心问题：
如果不用激活函数，多层神经网络会退化成“单层线性模型”。
- 例子：假设激活函数是线性的，比如 h(x)=2x，那么一个 3 层网络的计算过程是：y(x)=h(h(h(x)))=2×2×2×x=8x这其实等价于单层网络 y(x)=8x，多层网络没有发挥任何优势。
关键作用：
激活函数引入非线性，使得神经网络可以：
- 学习复杂模式（比如图像中的曲线、文本中的语义关系）。
- 解决线性模型无法处理的问题（如分类复杂数据）。
- 让深层网络真正发挥“深度”价值，而不是简单堆叠线性计算。
1. Sigmoid 激活函数
公式：
特点：
✅ 优点：
- 输出在 (0,1) 之间，适合做概率输出（比如二分类问题，判断“是猫”或“不是猫”）。
- 计算简单，早期神经网络常用。
❌ 缺点：
- 梯度消失：
- 当输入 z 很大或很小时，导数 y′ 接近 0，导致参数（w,b）几乎不更新，深层网络训练困难。
- 比如，z=10 时，y≈1，y′≈0，梯度几乎消失。
- 输出不对称：
- 输出恒为正（> 0），导致后续层的输入总是正数，影响参数优化效率。
- 训练慢：
- 梯度更新方向不稳定，优化过程耗时较长。
适用场景：二分类问题的输出层（现代神经网络隐藏层一般不用 Sigmoid）。
2. Tanh 激活函数
公式：
特点：
✅ 优点（相比 Sigmoid）：
- 输出对称：
- 输出在 (-1, 1) 之间，以 0 为中心，缓解了 Sigmoid 的“恒正”问题，训练更稳定。
- 收敛更快：
- 梯度更新更合理，模型训练速度比 Sigmoid 快。
❌ 缺点：
- 梯度消失仍然存在：
- 当 ∣z∣ 很大时，导数 y′ 接近 0，深层网络依然可能训练困难。
- 非线性能力有限：
- 和 Sigmoid 类似，Tanh 仍然是“饱和型”激活函数，对复杂数据的拟合能力不如 ReLU 等现代激活函数。
适用场景：RNN、LSTM 等序列模型（隐藏层），二分类问题的输出层（替代 Sigmoid）。
对比
| 激活函数 | 输出范围 | 优点 | 缺点 | 适用场景 |
|---|---|---|---|---|
| Sigmoid | (0, 1) | 适合概率输出，计算简单 | 梯度消失、训练慢、输出不对称 | 二分类输出层 |
| Tanh | (-1, 1) | 输出对称，训练比 Sigmoid 快 | 仍有梯度消失问题 | RNN/LSTM 隐藏层 |
3. ReLU & Leaky ReLU 激活函数
一、ReLU（修正线性单元）
1. 公式与计算规则
- 直观理解：输入 > 0 时，直接输出原值；输入 ≤ 0 时，输出 0。反向传播时，正输入的梯度恒为 1，负输入的梯度为 0。
2. 核心优势 ✅
- 解决梯度消失：正区间的梯度恒为 1，深层网络训练时梯度能稳定传递（不像 Sigmoid/Tanh 会接近 0）。
- 计算极快：只需判断是否大于 0，没有指数、除法等复杂运算，适合大规模网络（如 CNN、Transformer）。
- 稀疏激活：负输入直接输出 0，让部分神经元“关闭”，提升模型效率。
3. 主要缺点 ❌
神经元死亡问题：
- 如果某个神经元的输入长期 ≤ 0（比如初始化不好或学习率太高），它的梯度永远是 0，参数无法更新，这个神经元就“死”了，失去作用。
- 影响：部分神经元失效，降低模型表达能力。
适用场景：
- 绝大多数深度学习模型（如 CNN、全连接网络）的隐藏层默认选择。
- 代表网络：ResNet、VGG、AlexNet 等。
二、Leaky ReLU（带泄漏的 ReLU）
1. 公式与计算规则
- 直观理解：输入 > 0 时和 ReLU 一样；输入 ≤ 0 时，输出一个很小的比例（如 0.01 倍），而不是直接归零。
2. 核心优势 ✅
解决神经元死亡：
- 负输入也有微小梯度（如 0.01），神经元不会完全“死掉”，保留了学习能力。
3. 主要缺点 ❌
- 需要调参：泄漏系数 a 是人工设定的（通常 0.01），不同任务可能需要调整。
- 训练可能不稳定：正负区间的处理方式不同，可能导致梯度更新波动。
适用场景：
- 担心 ReLU 神经元死亡的场景（如训练不稳定或深层网络）。
- 改进版：PReLU（Parametric ReLU），让 a 变成可学习的参数，自动优化。
三、对比
| 特性 | ReLU | Leaky ReLU |
|---|---|---|
| 计算速度 | ⚡️ 极快（主流选择） | ⚡️ 快（稍慢于 ReLU） |
| 梯度消失 | ✅ 正区间无消失 | ✅ 正区间无消失 |
| 神经元死亡 | ❌ 可能死亡 | ✅ 缓解死亡问题 |
| 超参数 | 无 | 需设定泄漏系数 a |
二. 损失函数
1. 均方误差损失函数
