【动手学深度学习】4.5. 权重衰减

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4.5. 权重衰减

在多项式回归中，我们可以通过调整拟合多项式的阶数来限制模型的容量。例如，给定一个特征 x 和对应的标签，我们可以用 d 阶多项式来估计标签。高阶多项式函数比低阶多项式函数复杂得多，参数较多，模型函数的选择范围较广。因此，在固定训练数据集的情况下，高阶多项式函数的训练误差通常更低。

然而，简单地限制特征数量（如限制多项式阶数）可能过于生硬。例如，从阶数 k−1 到 k 的微小变化，会导致模型复杂性显著增加。

多项式对多变量数据的自然扩展称为单项式（monomials）， 也可以说是变量幂的乘积。 单项式的阶数是幂的和。 例如，$x_1^2{x}_2和x_3{x}_5^2$都是3次单项式。

给定 k 个变量，阶数为 d 的单项式数量为 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k-1+d}{k-1}\right)$，即组合数 $C_{k-1+d}^{k-1}=\frac{(k-1+d)!}{(d)!(k-1)!}$​。因此，即使是阶数上的微小变化，比如从 d=2 到 d=3，也会显著增加模型的复杂性。

仅仅通过简单的限制特征数量（在多项式回归中体现为限制阶数），可能仍然使模型在过简单和过复杂中徘徊， 我们需要一个更细粒度的工具来调整函数的复杂性，使其达到一个合适的平衡位置。

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1）范数与权重衰减

（1）范数概述

范数是衡量向量或矩阵大小的一种度量，它是更一般的 $L_p$ 范数的特殊情况。在机器学习中，范数可以用来衡量模型参数的大小。

• $L_2$ 范数：是向量中各元素平方和的平方根，用于衡量向量的大小。

• $L_1$ 范数：是向量中各元素绝对值的和，用于衡量向量的稀疏性。

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（2）权重衰减

权重衰减（weight decay）是训练参数化机器学习模型时最广泛使用的正则化技术之一，常被称为 $L_2$ 正则化。它通过函数与零的距离来衡量函数的复杂性。权重衰减的目的是通过限制权重的大小，防止模型过于复杂，从而降低过拟合的风险。

一种简单的方法是通过线性函数 $f(x)={\mathbf{w}}^{\top }\mathbf{x}$ 中的权重向量的范数来度量其复杂度，例如 $||\mathbf{w}|{|}^2$。为了确保权重向量较小，最常用的方法是将其范数作为惩罚项加到最小化损失的问题中。

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（3）损失函数的调整

通过调整原来的训练目标，将最小化训练标签上的预测损失，改为最小化预测损失和惩罚项之和。如果权重向量增长过大，学习算法可能会更集中于最小化权重范数 $||\mathbf{w}|{|}^2$。这正是我们想要的。

让我们回顾一下线性回归的例子。我们原来的损失函数为：

$$L(\mathbf{w},b)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\frac{1}{2}{\left({\mathbf{w}}^{\top }{\mathbf{x}}^{(i)}+b-y^{(i)}\right)}^2$$

使用 $L_2$ 正则化后，向损失函数添加权重范数惩罚项 $||\mathbf{w}|{|}^2$，损失函数变为：

$$L(\mathbf{w},b)+\frac{\lambda }{2}||\mathbf{w}|{|}^2$$

其中，$\lambda$ 是正则化常数，这是一个非负超参数，用于控制权重范数的大小。

• 对于 $\lambda =0$，我们恢复了原来的损失函数。 对于 $\lambda >0$，我们限制 ||w|| 的大小。

• 这里我们仍然除以2：当我们取一个二次函数的导数时， 2和1/2会抵消，以确保更新表达式看起来既漂亮又简单。

• 使用平方范数而不是标准范数：通过$L_2$平方范数，我们去掉平方根，留下权重向量每个分量的平方和。 这使得惩罚的导数很容易计算：导数的和等于和的导数。

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（4）权重衰减的作用

权重衰减通过在损失函数中添加权重的 $L_2$ 范数平方项，使得模型在优化过程中不仅要最小化训练误差，还要最小化权重的大小。这可以防止模型的权重变得过大，从而降低过拟合的风险。

为什么我们首先使用范数 $L_2$，而不是范数 $L_1$。 事实上，这个选择在整个统计领域中都是有效的和受欢迎的。 $L_2$正则化线性模型构成经典的岭回归（ridge regression）算法，$L_1$正则化线性回归是统计学中类似的基本模型， 通常被称为套索回归（lasso regression）。

$L_2$ 正则化与 $L_1$ 正则化

• (L_2) 正则化：使用权重向量的平方范数作为惩罚项。这使得学习算法倾向于在大量特征上均匀分布权重，构建更加稳定的模型。

• (L_1) 正则化：使用权重向量的绝对值之和作为惩罚项。这会导致模型将权重集中在一小部分特征上，而将其他权重清除为零，实现特征选择。

通常，$L_2$ 正则化在深度学习中更为常用，因为它对权重向量的大分量施加了更大的惩罚，使得模型在大量特征上均匀分布权重。

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（5）权重衰减的更新规则

使用 $L_2$ 正则化的线性回归的小批量随机梯度下降更新规则如下：

$$\mathbf{w}\leftarrow (1-\eta \lambda )\mathbf{w}-\frac{\eta }{|\mathcal{B}|}\sum _{i\in \mathcal{B}}{\mathbf{x}}^{(i)}\left({\mathbf{w}}^{\top }{\mathbf{x}}^{(i)}+b-y^{(i)}\right)$$

其中，$\eta$ 是学习率，$\mathcal{B}$ 是小批量样本集合。

我们根据估计值与观测值之间的差异来更新w。 然而，我们同时也在试图将的w大小缩小到零。 这就是为什么这种方法有时被称为权重衰减。

通过权重衰减，我们可以在优化过程中更好地控制模型的复杂度，从而达到防止过拟合的目的。

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2）高维线性回归

我们通过一个简单的例子来演示权重衰减。

%matplotlib inline
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

首先，我们像以前一样生成一些数据，生成公式如下：

$$y=0.05+\sum _{i=1}^{d}0.01x_i+ϵ\text{ where }ϵ\sim \mathcal{N}(0,0.01^2)$$

我们选择标签是关于输入的线性函数。 标签同时被均值为0，标准差为0.01高斯噪声破坏。 为了使过拟合的效果更加明显，我们可以将问题的维数增加到d=200， 并使用一个只包含20个样本的小训练集。

n_train, n_test, num_inputs, batch_size = 20, 100, 200, 5
true_w, true_b = torch.ones((num_inputs, 1)) * 0.01, 0.05
train_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_train)
train_iter = d2l.load_array(train_data, batch_size)
test_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_test)
test_iter = d2l.load_array(test_data, batch_size, is_train=False)

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3）从零开始实现

下面我们将从头开始实现权重衰减，只需将$L2$的平方惩罚添加到原始目标函数中。

（1）初始化模型参数

首先，我们将定义一个函数来随机初始化模型参数。

def init_params():
    w = torch.normal(0, 1, size=(num_inputs, 1), requires_grad=True)
    b = torch.zeros(1, requires_grad=True)
    return [w, b]

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（2）定义$L_2$范数惩罚

实现这一惩罚最方便的方法是对所有项求平方后并将它们求和。

def l2_penalty(w):
    return torch.sum(w.pow(2)) / 2

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（3）定义训练代码实现

下面的代码将模型拟合训练数据集，并在测试数据集上进行评估。 从 3节以来，线性网络和平方损失没有变化， 所以我们通过d2l.linreg和d2l.squared_loss导入它们。 唯一的变化是损失现在包括了惩罚项。

def train(lambd):
    w, b = init_params()
    net, loss = lambda X: d2l.linreg(X, w, b), d2l.squared_loss
    num_epochs, lr = 100, 0.003
    animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',
                            xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])
    for epoch in range(num_epochs):
        for X, y in train_iter:
            # 增加了L2范数惩罚项，
            # 广播机制使l2_penalty(w)成为一个长度为batch_size的向量
            l = loss(net(X), y) + lambd * l2_penalty(w)
            l.sum().backward()
            d2l.sgd([w, b], lr, batch_size)
        if (epoch + 1) % 5 == 0:
            animator.add(epoch + 1, (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
                                     d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
    print('w的L2范数是：', torch.norm(w).item())

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（4）忽略正则化直接训练

我们现在用lambd = 0禁用权重衰减后运行这个代码。 注意，这里训练误差有了减少，但测试误差没有减少， 这意味着出现了严重的过拟合。

train(lambd=0)
w的L2范数是： 12.963241577148438

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（5）使用权重衰减

下面，我们使用权重衰减来运行代码。 注意，在这里训练误差增大，但测试误差减小。 这正是我们期望从正则化中得到的效果。

train(lambd=3)
w的L2范数是： 0.3556520938873291

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4）简洁实现

在下面的代码中，我们在实例化优化器时直接通过weight_decay指定weight decay超参数。 默认情况下，PyTorch同时衰减权重和偏移。 这里我们只为权重设置了weight_decay，所以偏置参数不会衰减。

def train_concise(wd):
    net = nn.Sequential(nn.Linear(num_inputs, 1))
    for param in net.parameters():
        param.data.normal_()
    loss = nn.MSELoss(reduction='none')
    num_epochs, lr = 100, 0.003
    # 偏置参数没有衰减
    trainer = torch.optim.SGD([
        {"params":net[0].weight,'weight_decay': wd},
        {"params":net[0].bias}], lr=lr)
    animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',
                            xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])
    for epoch in range(num_epochs):
        for X, y in train_iter:
            trainer.zero_grad()
            l = loss(net(X), y)
            l.mean().backward()
            trainer.step()
        if (epoch + 1) % 5 == 0:
            animator.add(epoch + 1,
                         (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
                          d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
    print('w的L2范数：', net[0].weight.norm().item())

这些图看起来和我们从零开始实现权重衰减时的图相同。 然而，它们运行得更快，更容易实现。 对于更复杂的问题，这一好处将变得更加明显。

train_concise(0)
w的L2范数： 13.727912902832031

train_concise(3)
w的L2范数： 0.3890590965747833

到目前为止，我们只接触到一个简单线性函数的概念。 此外，由什么构成一个简单的非线性函数可能是一个更复杂的问题。

例如，再生核希尔伯特空间（RKHS） 允许在非线性环境中应用为线性函数引入的工具。 不幸的是，基于RKHS的算法往往难以应用到大型、高维的数据。 在这本书中，我们将默认使用简单的启发式方法，即在深层网络的所有层上应用权重衰减。

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5）小结

• 正则化是处理过拟合的常用方法：在训练集的损失函数中加入惩罚项，以降低学习到的模型的复杂度。

• 保持模型简单的一个特别的选择是使用惩罚的权重衰减。这会导致学习算法更新步骤中的权重衰减。

• 权重衰减功能在深度学习框架的优化器中提供。

• 在同一训练代码实现中，不同的参数集可以有不同的更新行为。

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