【树的概念及其堆的实现】

1.树的概念

  树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。
有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继,因此，树是递归定义的。
注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构.

2.树的相关概念

  *节点的度：一个节点含有子树的个数称为该节点的度。如上图：A的为6

  *叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点

  * 非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点

  *孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点

  * 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点

  * 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6

  * 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；

  * 树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4

  * 堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点

   * 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先

   * 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙

3.二叉树的概念

 一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:
 1.或者为空
 2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成.


从上图可以看出：
1. 二叉树不存在度大于2的结点
2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树.

 注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

4. 满二叉树和完全二叉树

 1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是2^k-1，则它就是满二叉树。
 2.完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

5.二叉树的存储结构

1. 顺序存储
 顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

2. 链式存储
 二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链。

6.二叉树顺序结构的实现的

 普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结构存储。现实中我们通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。

7.堆的结构及其实现

 堆是一个完全二叉树，用数据来实现，结构和实现的接口如下：

#define HeapDataType int
typedef struct Heap {
HeapDataType* a;
int size;
int capacity;
}Heap;
void HeapInit(Heap* php);
void HeapDestory(Heap* php);
void HeapPush(Heap* php, HeapDataType x);
HeapDataType HeapTop(Heap* php);
void HeapPop(Heap* php);
bool HeapEmpty(Heap* php);


堆初始化和堆销毁接口如下

void HeapInit(Heap* php)
{
	assert(php);
	php->a = NULL;
	php->capacity = php->size = 0;
}

void HeapDestory(Heap* php)
{
	assert(php);
	free(php->a);
	php->a = NULL;
	php->capacity = php->size = 0;
}

 HeapPush接口的实现，先插入数据，再用向上调整算法，调成堆，以调成小堆为列，介绍向上调整算法。

  以满二叉树，插入10为例，进行调整，10是孩子，先找到父亲，由于是满二叉树，孩子与父亲的关系为：
 LeftChild = (Parent2)+1;
 RightChild = (Parent2)+2;
 Parent = (child - 1)/2;
然后，如果孩子比父亲小，则交换，孩子比父亲大，则成立。这儿再说一下循环怎么写，写循环结构就两件事，1.写循环体 2.写循环条件，一定要先写循环体，根据循环体写循环条件，例如上面向上调整算法.
 循环体是什么？
 已经知道最后一个孩子的位置，则通过孩子算出父亲位置，然后孩子与父亲的大小比较，进行交换。若成立，则退出循环。尽管做这样一件事情，那什么时候结束，孩子走到头，父亲没有了，就结束，很自然就找到循环条件。
 具体代码如下：

void Swap(HeapDataType* px, HeapDataType* py)
{
	HeapDataType tmp = *px;
	*px = *py;
	*py = tmp;
}

void AdjustUp(HeapDataType* a, int child)
{
	int parent = (child - 1) / 2;
	while (child>0)
	{
		if (a[child] < a[parent])
		{
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

void HeapPush(Heap* php, HeapDataType x)
{
	assert(php);
	if (php->capacity == php->size)
	{
		int newcapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;
		HeapDataType* tmp = (HeapDataType*)realloc(php->a, sizeof(HeapDataType) * newcapacity);
		if (tmp == NULL)
		{
			perror("realloc fail!");
			return;
		}
		php->a = tmp;
		php->capacity = newcapacity;
	}
	php->a[php->size] = x;
	php->size++;
	AdjustUp(php->a, php->size - 1);
}

 写接口获得堆顶数据，堆的删除。
 堆的删除,首先堆头和堆位进行交换，然后向下调整，调整成堆。

 首先，把10和28交换，交换之后，把堆顶元素10删除，把在0位置的28这个元素，向下调整成堆，具体就是找孩子中两个较小的一个跟父亲比较，进行交换，父亲走到头，循环结束，这是孩子已经越界，用孩子来写循环条件。
 代码如下。

void AdjustDown(HeapDataType* a, int parent, int n)
{
	int child = (parent * 2) + 1;
	if (a[child] > a[child + 1] && child+1<n)
	{
		child += 1;
	}
	while (child<n)
	{
		if (a[parent] > a[child])
		{
			Swap(&a[parent], &a[child]);
			parent = child;
			if (a[child] > a[child + 1] && child + 1 < n)
			{
				child += 1;
			}
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

void HeapPop(Heap* php)
{
	assert(php);
	assert(php->a);
	Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);
	php->size--;
	AdjustDown(php->a, 0, php->size);
}

 判空很简单

bool HeapEmpty(Heap* php)
{
	assert(php);
	return php->size == 0;
}