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同学们好！今天我们学习《高等数学》第九章第一节多元函数的基本概念。我会用最生活化的例子和最通俗的语言，带你彻底理解这些抽象概念。如果中途有疑问，随时提出，我们一步步解决！
一、从一元到多元：为什么需要多元函数？
一元函数：一个自变量对应一个因变量，例如：
- 气温随时间变化：T = f(t)
- 汽车行驶距离随时间变化：s = f(t)
多元函数：多个自变量对应一个因变量，例如：
- 气温随时间和地点变化：T = f(t, x, y)
- 圆柱体体积：V = f(r, h) = π r² h（半径 r 和高度 h）
为什么研究多元函数？
实际问题中，现象往往依赖多个因素。例如：
- 地图上某点的高度由经纬度确定：h = f(经度, 纬度)
- 三维空间中点到原点的距离：d = f(x, y, z) = √(x² + y² + z²)
二、核心概念详解（结合生活实例）
1. 邻域（Neighborhood）
定义：点 P₀ 的邻域是包含 P₀ 的某个“小范围”。
- 平面邻域：以 P₀(x₀, y₀) 为中心，半径为 δ 的圆内所有点。
U(P₀, δ) = { (x, y) | √[(x - x₀)² + (y - y₀)²] < δ }
想象：以你家为中心，半径1公里的圆形区域，就是你的“生活邻域”。 - 去心邻域：去掉中心点 P₀ 的邻域，记为 U°(P₀, δ)。
应用：用于定义极限（如“无限接近但不等于某点”）。
2. 区域（Region）
点集的分类：
- 内点：存在一个邻域完全包含在点集 E 内。
例如：圆心是圆的内点。 - 外点：存在一个邻域完全不包含点集 E。
例如：圆外的点都是圆的外点。 - 边界点：任意邻域既包含 E 的点，也包含不属于 E 的点。
例如：圆周上的点都是边界点。 - 聚点：任意去心邻域内都有 E 的点。
例如：圆周上的点既是边界点，也是聚点。
区域的分类：
- 开区域：全部由内点组成，如平面上的开圆盘 {(x, y) | x² + y² < 1}。
- 闭区域：包含所有边界点，如平面上的闭圆盘 {(x, y) | x² + y² ≤ 1}。
3. 多元函数的定义
定义：设 D 是 n 维空间中的点集，若对每个点 P ∈ D，按规则 f 对应唯一确定的值 z，则称 f 是 D 上的 n 元函数，记作：
z = f§, P ∈ D
示例：
- 二元函数：z = f(x, y) = x² + y²（抛物面）。
- 三元函数：u = f(x, y, z) = √(x² + y² + z²)（球面）。
几何意义：
- 二元函数的图形通常是空间中的曲面。
- 三元函数的图形是四维空间中的超曲面（难以直观想象）。
4. 多元函数的极限
定义：设函数 f§ 在点集 D 上有定义，P₀ 是 D 的聚点。若对任意给定的 ε > 0，存在 δ > 0，使得当 P ∈ U°(P₀, δ) ∩ D 时，恒有：
| f§ - A | < ε
则称 A 为 f§ 当 P → P₀ 时的 极限，记作：
lim (P → P₀) f§ = A
关键点：
- 路径依赖：多元函数的极限需沿所有可能路径趋近 P₀ 时极限相同。
例如：函数 f(x, y) = (x y) / (x² + y²) 在 (0, 0) 处沿不同路径（如 y = k x）极限不同，故极限不存在。 - 与一元函数的区别：一元函数只需考虑左右极限，而多元函数需考虑所有路径。
5. 多元函数的连续性
定义：若函数 f§ 在点 P₀ 处满足：
lim (P → P₀) f§ = f(P₀)
则称 f§ 在 P₀ 处 连续。
性质：
- 初等函数连续性：基本初等函数在其定义域内连续，多元初等函数在定义区域内连续。
例如：f(x, y) = sin(x y) 在 ℝ² 上连续。 - 不连续的常见情况：
- 分母为零（如 f(x, y) = 1 / (x² + y²) 在 (0, 0) 处不连续）。
- 路径依赖导致极限不存在（如上述 (x y) / (x² + y²) ）。
三、典型例题解析（手把手拆解）
例1：求函数 f(x, y) = √(4 - x² - y²) 的定义域和图形。
解：
- 定义域：根号内非负 → 4 - x² - y² ≥ 0 → x² + y² ≤ 4。
即平面上以原点为中心、半径为2的闭圆盘。 - 图形：三维空间中，所有满足 x² + y² + z² = 4 的点构成球面，但函数值 z = √(4 - x² - y²) 仅取上半球面。
例2：判断极限 lim ((x, y) → (0, 0)) (x² y) / (x⁴ + y²) 是否存在。
解：
- 沿路径 y = k x² 趋近：
lim (x → 0) [ (x² * k x²) / (x⁴ + (k x²)²) ] = lim (x → 0) [ (k x⁴) / (x⁴ (1 + k²)) ] = k / (1 + k²)
结果与 k 有关（如 k = 0 时极限为 0，k = 1 时极限为 1/2），故极限不存在。
四、总结与学习建议
- 核心概念：
- 邻域、区域、聚点、边界点。
- 多元函数的定义域、图形、极限、连续性。
- 学习重点：
- 理解多变量带来的复杂性（如路径依赖）。
- 掌握用不等式描述定义域（如 x² + y² ≤ 1）。