高维输运与扩散方程，涵盖了严格的扩散极限、多维扩散理论、先进的数值和基于粒子的模拟方法，以及分数阶/电报式推广，为广泛的科学和工程领域中复杂输运现象的建模、分析和模拟提供了强大的工具。
高维输运和扩散方程涵盖了输运方程的严格扩散极限、结合随机和偏微分方程工具的多维扩散理论、先进的数值和基于粒子的模拟方法、分数阶和电报式输运的推广，以及在地球物理和工程系统中的应用。这些框架为建模、分析和模拟许多科学和工程领域中的复杂输运现象提供了强大的工具。
高维方程在输运过程和扩散应用中的重要表现形式可总结如下：
1. 输运方程的扩散近似
- 输运方程通常描述粒子或个体随速度变化的运动，在合适的尺度极限下，可以通过扩散方程进行近似。当在小时间间隔内发生许多速度跳跃但净位移很小时，就会出现这种扩散极限，从而在高维中产生简化的平流-扩散或纯扩散方程。
- 扩散近似通过泛函分析、半群理论和变分公式得到严格证明，为适当函数空间中解的存在性和唯一性提供了依据。
- 控制跳跃长度和等待时间的参数的不同尺度会导致不同的极限方程：漂移主导的输运、扩散主导或混合平流-扩散机制。
2. 多维扩散理论
- 高维扩散过程的研究涉及其可达性（是否可以达到某些状态或超平面）、遍历性（长期统计行为）和排序（扩散粒子的排序），并应用于相互作用粒子系统和金融模型，例如股票市场的阿特拉斯模型。
- 该理论结合了椭圆偏微分方程和随机微积分，解决了多维域中的反射条件和扩散的唯一性问题。
3. 平流-扩散偏微分方程的数值和建模进展
- 平流-扩散偏微分方程（PDEs）模拟化学物质或热量在流体介质中的输运。高维偏微分方程带来了计算挑战，通过模型降阶、贝叶斯推断和分布式机器人传感来估计不确定参数和场，从而解决这些挑战。
- 这些方法使得移动机器人监测化学物质传播等实际应用成为可能，展示了高维输运-扩散模型在工程中的相关性。
4. 介观模拟模型
- 输运耗散粒子动力学（tDPD）模型通过引入浓度场和在介观尺度上模拟平流-扩散-反应过程，扩展了经典粒子方法。这些模型能准确处理边界条件，并将粒子参数与有效扩散系数相关联。
5. 分数阶和电报式输运过程
- 经典扩散模型的扩展包括电报式输运过程及其分数阶推广，它们能更好地捕捉有限传播速度和多维异常扩散现象。通过超越经典扩散方程，这些模型为复杂介质中的输运提供了更真实的描述。
6. 输运-扩散耦合的变分和投影方法
- 变分公式和伽辽金投影方法允许在异构介质中耦合完整输运方程和扩散近似，从而能够准确建模扩散有效区域和输运效应主导区域。
7. 地球物理和混沌流中的应用
- 高维输运和扩散方程在地球物理流（大气、海洋）中的粒子输运建模中至关重要，其中混沌平流导致复杂的拉格朗日轨迹和混合。动力系统技术有助于描述湍流中混沌扩散和标量波动。
云计算环境为高维偏微分方程的分析和动态可视化（通过动画，包括三维等值面图）提供了强大的平台，可以有效地模拟二维输运、二维墨水扩散、三维热分布和多维种群扩散等现象，并使用显式有限差分格式等数值技术。
🎬动画结果
- 二维传输方程
- 油墨扩散（二维热方程）
- 3D热扩散
- 3D热扩散等值面
- 2D-种群中的个体倾向于从拥挤的区域向密度较低的区域扩散
- 3D-种群中的个体倾向于从拥挤的区域分散到密度较低的区域