题目
问题 1. 求系统 Ut+AUx=0 U_t + A U_x = 0 Ut+AUx=0 的特征线并写出其通解,其中矩阵 A A A 分别为:
A=(2332),A=(2−31−2),A=(1−124),A=(−1−12−4),A=(320−1),A=(302−1). A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}, \quad A = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}, \quad A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}, \quad A = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & -4 \end{pmatrix}, \quad A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}. A=(2332),A=(21−3−2),A=(12−14),A=(−12−1−4),A=(302−1),A=(320−1).
问题 2. 对于问题 1 中的每个系统,在区域 { x>0,t>0}\{x > 0, t > 0\}{ x>0,t>0} 中,确定以下哪个初边值问题(IVBP)是适定的(即解存在、唯一且连续依赖于数据),并求其解 U=(u,v)T U = (u, v)^T U=(u,v)T:
- 初始条件:u∣t=0=f(x) u|_{t=0} = f(x) u∣t=0=f(x), v∣t=0=g(x) v|_{t=0} = g(x) v∣t=0=g(x)(无边界条件);
- 初始条件:u∣t=0=f(x) u|_{t=0} = f(x) u∣t=0=f(x), v∣t=0=g(x) v|_{t=0} = g(x) v∣t=0=g(x); 边界条件:u∣x=0=ϕ(t) u|_{x=0} = \phi(t) u∣x=0=ϕ(t);
- 初始条件:u∣t=0=f(x) u|_{t=0} = f(x) u∣t=0=f(x), v∣t=0=g(x) v|_{t=0} = g(x) v∣t=0=g(x); 边界条件:u∣x=0=ϕ(t) u|_{x=0} = \phi(t) u∣x=0=ϕ(t), v∣x=0=ψ(t) v|_{x=0} = \psi(t) v∣x=0=ψ(t).
注意:原题中系统方程为 Uu+AUx=0 U_u + A U_x = 0 Uu+AUx=0,但根据上下文和标准形式,应为 Ut+AUx=0 U_t + A U_x = 0 Ut+AUx=0(即时间导数为 t t t,而非 u u u,故修正为 Ut+AUx=0 U_t + A U_x = 0 Ut+AUx=0。此外,问题 2 中的第二个 IVBP 选项重复了初始条件,但根据内容,应为初始条件加一个边界条件 u∣x=0=ϕ(t) u|_{x=0} = \phi(t) u∣x=0=ϕ(t)。
解答
问题 1: 求特征线及通解
对于系统 Ut+AUx=0 U_t + A U_x = 0 Ut+AUx=0,特征线由矩阵 A A A 的特征值(特征速度)决定。通解通过特征方法或对角化得到。设 U=(u,v)T U = (u, v)^T U=(u,v)T,通解中的 F F F 和 G G G 为任意光滑函数。
A1=(2332) A_1 = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} A1=(2332)
- 特征值:λ1=5 \lambda_1 = 5 λ1=5, λ2=−1 \lambda_2 = -1 λ2=−1(实数相异,系统严格双曲)。
- 通解:
u(x,t)=F(x−5t)+G(x+t),v(x,t)=F(x−5t)−G(x+t). u(x,t) = F(x - 5t) + G(x + t), \quad v(x,t) = F(x - 5t) - G(x + t). u(x,t)=F(x−5t)+