线性双曲系统特征及适定性分析

题目

问题 1. 求系统 $$U_t+A{U}_x=0$$ 的特征线并写出其通解，其中矩阵 $$A$$ 分别为：
$$A=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 3& 2\end{array}\right),A=\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ 1& -2\end{array}\right),A=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 2& 4\end{array}\right),A=\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ 2& -4\end{array}\right),A=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 0& -1\end{array}\right),A=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 2& -1\end{array}\right).$$

问题 2. 对于问题 1 中的每个系统，在区域 { x>0,t>0}\{x > 0, t > 0\}{ x>0,t>0} 中，确定以下哪个初边值问题（IVBP）是适定的（即解存在、唯一且连续依赖于数据），并求其解 $$U=(u,v{)}^T$$：

1. 初始条件：$$u{|}_{t=0}=f(x)$$, $$v{|}_{t=0}=g(x)$$（无边界条件）；
2. 初始条件：$$u{|}_{t=0}=f(x)$$, $$v{|}_{t=0}=g(x)$$; 边界条件：$$u{|}_{x=0}=\varphi (t)$$；
3. 初始条件：$$u{|}_{t=0}=f(x)$$, $$v{|}_{t=0}=g(x)$$; 边界条件：$$u{|}_{x=0}=\varphi (t)$$, $$v{|}_{x=0}=\psi (t)$$.

注意：原题中系统方程为 $$U_u+A{U}_x=0$$，但根据上下文和标准形式，应为 $$U_t+A{U}_x=0$$（即时间导数为 $$t$$，而非 $$u$$，故修正为 $$U_t+A{U}_x=0$$。此外，问题 2 中的第二个 IVBP 选项重复了初始条件，但根据内容，应为初始条件加一个边界条件 $$u{|}_{x=0}=\varphi (t)$$。

解答

问题 1: 求特征线及通解

对于系统 $$U_t+A{U}_x=0$$，特征线由矩阵 $$A$$ 的特征值（特征速度）决定。通解通过特征方法或对角化得到。设 $$U=(u,v{)}^T$$，通解中的 $$F$$ 和 $$G$$ 为任意光滑函数。

1. $$A_1=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 3& 2\end{array}\right)$$

   • 特征值：$${\lambda }_1=5$$, $${\lambda }_2=-1$$（实数相异，系统严格双曲）。
   • 通解：
     $$u(x,t)=F(x-5t)+$$