算法入门--动态规划（C++）-EW帮帮网

深入浅出掌握动态规划核心思想，图文并茂+实战代码

什么是动态规划？

动态规划（Dynamic Programming, DP）是一种高效解决多阶段决策问题的方法。它通过将复杂问题分解为重叠子问题，并存储子问题的解（避免重复计算），最终解决原问题。

动态规划适用场景

重叠子问题：问题可分解为重复出现的子问题
最优子结构：问题的最优解包含子问题的最优解
无后效性：当前状态一旦确定，后续决策不受之前决策影响

一、从斐波那契数列入门（记忆化搜索）

斐波那契数列是理解DP思想的完美起点：F(0)=0, F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)

1.1 递归解法（低效）

int fib(int n) {
    if (n <= 1) return n;
    return fib(n-1) + fib(n-2);
}

问题：存在大量重复计算，时间复杂度O(2^n)

1.2 记忆化搜索（自顶向下）

#include <vector>
using namespace std;

int fibMemo(int n, vector<int>& memo) {
    if (n <= 1) return n;
    if (memo[n] != -1) return memo[n]; // 已计算过
    
    memo[n] = fibMemo(n-1, memo) + fibMemo(n-2, memo);
    return memo[n];
}

int fib(int n) {
    vector<int> memo(n+1, -1); // 初始化记忆数组
    return fibMemo(n, memo);
}

优点：时间复杂度降为O(n)，空间复杂度O(n)

二、数塔问题（经典DP）

问题描述：从塔顶到塔底，每次只能向下或右下移动，求最大路径和。

        5
       / \
      8   3
     / \ / \
    12  7  16
   / \ / \ / \
  4   10  11  6

2.1 DP解法思路

状态定义：dp[i][j]表示从第i行第j列出发到底部的最大路径和
状态转移：dp[i][j] = a[i][j] + max(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1])
边界条件：最底层dp值等于元素本身

2.2 C++实现

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

int maxPathSum(vector<vector<int>>& tower) {
    int n = tower.size();
    vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(n, 0));
    
    // 初始化最后一行
    for (int j = 0; j < n; ++j) 
        dp[n-1][j] = tower[n-1][j];
    
    // 自底向上计算
    for (int i = n-2; i >= 0; --i) {
        for (int j = 0; j <= i; ++j) {
            dp[i][j] = tower[i][j] + max(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1]);
        }
    }
    
    return dp[0][0];
}

int main() {
    vector<vector<int>> tower = {
        {5},
        {8, 3},
        {12, 7, 16},
        {4, 10, 11, 6}
    };
    cout << "最大路径和: " << maxPathSum(tower) << endl; // 输出: 5+8+7+11=31
    return 0;
}

三、最长上升子序列（LIS）

问题描述：给定数组，找到最长严格递增子序列的长度示例：[10,9,2,5,3,7,101,18] -> 最长上升子序列[2,5,7,101]长度为4

3.1 DP解法

状态定义：dp[i]表示以nums[i]结尾的LIS长度
状态转移：
结果：max(dp[0...n-1])

3.2 C++实现

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
    if (nums.empty()) return 0;
    vector<int> dp(nums.size(), 1);
    int maxLen = 1;
    
    for (int i = 1; i < nums.size(); ++i) {
        for (int j = 0; j < i; ++j) {
            if (nums[i] > nums[j]) {
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
            }
        }
        maxLen = max(maxLen, dp[i]);
    }
    return maxLen;
}

int main() {
    vector<int> nums = {10,9,2,5,3,7,101,18};
    cout << "最长上升子序列长度: " << lengthOfLIS(nums) << endl; // 输出4
    return 0;
}

时间复杂度：O(n²) 优化：二分查找可优化至O(nlogn)

四、0-1背包问题（经典DP）

问题描述：给定n件物品（重量w[i], 价值v[i]）和容量为C的背包，如何装包使总价值最大？

4.1 DP解法思路

状态定义：dp[i][j]表示前i件物品放入容量为j的背包的最大价值
状态转移：

4.2 C++实现

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

int knapsack(int C, vector<int>& w, vector<int>& v) {
    int n = w.size();
    vector<vector<int>> dp(n+1, vector<int>(C+1, 0));
    
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int j = 1; j <= C; ++j) {
            if (j < w[i-1]) {  // 注意下标偏移
                dp[i][j] = dp[i-1][j];
            } else {
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], 
                              v[i-1] + dp[i-1][j - w[i-1]]);
            }
        }
    }
    return dp[n][C];
}

int main() {
    vector<int> weights = {2, 3, 4, 5};  // 物品重量
    vector<int> values = {3, 4, 5, 6};   // 物品价值
    int capacity = 8;                    // 背包容量
    
    cout << "最大价值: " << knapsack(capacity, weights, values) 
         << endl; // 输出: 10 (选3+5+6)
    return 0;
}

五、动态规划解题步骤总结

定义状态：明确dp数组的含义
确定转移方程：关键步骤，找出状态间关系
初始化：设置边界值
确定计算顺序：自底向上或自顶向下
输出结果：从最终状态获取答案
空间优化：滚动数组等技巧（可选）

六、常见DP模型

问题类型	典型问题	状态转移特征
线性DP	最长上升子序列	沿数组顺序转移
区间DP	矩阵链乘法、石子合并	从小区间向大区间转移
背包问题	0-1背包、完全背包	物品选择决策
树形DP	二叉树最大路径和	在树结构上递归转移
状态压缩DP	旅行商问题(TSP)	用二进制表示状态

掌握动态规划需要多练习！建议从LeetCode简单DP题开始，逐步提升难度。

推荐练习：

70. 爬楼梯
53. 最大子数组和
322. 零钱兑换
1143. 最长公共子序列

通过本文的学习，相信你已经掌握了动态规划的基本思想和常见问题的解决方法。继续坚持练习，很快你就能在算法解题中灵活运用DP技巧！

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