动手学深度学习——线性回归的从零开始实现

在动手学深度学习 3.2 线性回归的从零开始实现中有这样的代码：

import random
import torch

# 生成人造数据集
def synthetic_data(w, b, num_examples):  #@save
    """生成y=Xw+b+噪声"""
    X = torch.normal(0, 1, (num_examples, len(w)))  #均值为0，方差为1的随机数，num_examples个样本，列数为len(w)
    y = torch.matmul(X, w) + b
    y += torch.normal(0, 0.01, y.shape)
    return X,y.reshape(-1,1)

# 生成大小为batch_size的小批量
def data_iter(batch_size, features, labels):
    num_examples = len(features)
    indices = list(range(num_examples))
    random.shuffle(indices)     #将列表indices随机排序
    for i in range(0, num_examples, batch_size):    #batch_size为小批量的大小
        batch_indices = torch.tensor(indices[i:min(i + batch_size, num_examples)])
        yield features[batch_indices], labels[batch_indices]

batch_size = 10
true_w = torch.tensor([2, -3.4])
true_b = 4.2
features, labels = synthetic_data(true_w, true_b, 1000)

# 定义初始化模型参数
w = torch.normal(0, 0.01, size=(2, 1), requires_grad=True)
b = torch.zeros(1, requires_grad=True)

# 定义模型
def linreg(X, w, b):
    """线性回归模型。"""
    return torch.matmul(X, w) + b

# 定义损失函数
def squared_loss(y_hat, y):
    """均方损失。"""
    return (y_hat - y.reshape(y_hat.shape))**2 / 2

# 定义优化算法
def sgd(params, lr, batch_size):    # lr为学习率，
    """小批量随机梯度下降。"""
    with torch.no_grad():
        for param in params:
            param -= lr * param.grad / batch_size
            param.grad.zero_()


# 训练过程
lr = 0.03
num_epochs = 1  # 训练次数
net = linreg    # 调用线性回归模型
loss = squared_loss     # 调用损失函数

for epoch in range(num_epochs):
    for X, y in data_iter(batch_size, features, labels):
        l = loss(net(X, w, b), y)   # 调用损失函数，赋值给l
        l.sum().backward()
        # print('[w,b]:',[w,b])
        sgd([w, b], lr, batch_size)
    with torch.no_grad():
        train_l = loss(net(features, w, b), labels)
        print(f'epoch {epoch + 1}, loss {float(train_l.mean()):f}')

# 比较真实参数和通过训练学到的参数来评估训练的成功程度
print(f'w的估计误差: {true_w - w.reshape(true_w.shape)}')
print(f'b的估计误差: {true_b - b}')

基于 PyTorch 的线性回归模型梯度计算及验证

下面我将用数学公式推导这段代码中的梯度计算过程：

1. 定义变量和模型

• 设定 X = tensor([[ 0.3742, 1.0514],[-0.5108, -2.9390],[-0.6907, 2.3641],[-0.5569, 0.4298],[-0.4228, -1.0638],[-1.3704, -1.6127],[ 1.3422, 0.9927],[-1.6255, 0.5072],[ 1.3470, -0.5777],[ 1.6256, 0.8769]])

• 设定 y = tensor([[ 1.3774],[13.1741],[-5.2062],[ 1.6101],[ 6.9709],[ 6.9469],[ 3.5065],[-0.7634],[ 8.8503],[ 4.4814]])

• 输入矩阵 $$X\in {\mathbb{R}}^{10\times 2}$$

• 权重向量 $$w\in {\mathbb{R}}^{2\times 1}$$

• 偏置标量 $$b\in \mathbb{R}$$

• 目标值 $$y\in {\mathbb{R}}^{10\times 1}$$

2. 线性回归模型

$$\hat{y}=Xw+b$$

其中，$${\hat{y}}_i=w_1{x}_{i1}+w_2{x}_{i2}+b$$，$$i=1,\dots ,10$$

3. 均方损失函数

$$L(w,b)=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^{10}({\hat{y}}_i-y_i{)}^2$$

4. 计算梯度

4.1 计算 $$\frac{\partial L}{\partial w}$$

损失函数定义为：

$$L(w,b)=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^{10}({\hat{y}}_i-y_i{)}^2$$

其中预测值：

$${\hat{y}}_i=w_1{x}_{i1}+w_2{x}_{i2}+b$$

根据复合函数求导法则（链式法则）：

$$\frac{\partial L}{\partial w_j}=\sum _{i=1}^{10}\frac{\partial L}{\partial {\hat{y}}_i}\cdot \frac{\partial {\hat{y}}_i}{\partial w_j}$$

分步计算：

1. 计算$$\frac{\partial L}{\partial {\hat{y}}_i}$$

$$\frac{\partial L}{\partial {\hat{y}}_i}=\frac{\partial }{\partial {\hat{y}}_i}\left[\frac{1}{2}({\hat{y}}_i-y_i{)}^2\right]={\hat{y}}_i-y_i$$

2.计算$$\frac{\partial L}{\partial w_j}$$

$$\frac{\partial {\hat{y}}_i}{\partial w_j}=\frac{\partial }{\partial w_j}\left[w_1{x}_{i1}+w_2{x}_{i2}+b\right]=x_{ij}$$

3. 合并结果

$$\frac{\partial L}{\partial w_j}=\sum _{i=1}^{10}({\hat{y}}_i-y_i)\cdot x_{ij}$$

矩阵形式推导：

定义误差向量 $$e=\hat{y}-y$$，其中 $$e_i={\hat{y}}_i-y_i$$，则：

$$\frac{\partial L}{\partial w_j}=\sum _{i=1}^{10}{e}_i\cdot x_{ij}$$

用矩阵乘法表示所有权重的梯度：

$$\frac{\partial L}{\partial w}=\left[\begin{array}{c}{\sum }_{i=1}^{10}{e}_i\cdot x_{i1}\\ {\sum }_{i=1}^{10}{e}_i\cdot x_{i2}\end{array}\right]=X^{T}e=X^T(\hat{y}-y)$$

4.2 计算 $$\frac{\partial L}{\partial b}$$

同样使用链式法则：

$$\frac{\partial L}{\partial b}=\sum _{i=1}^{10}\frac{\partial L}{\partial {\hat{y}}_i}\cdot \frac{\partial {\hat{y}}_i}{\partial b}$$

分步计算：

1. 计算$$\frac{\partial L}{\partial {\hat{y}}_i}$$

$$\frac{\partial L}{\partial {\hat{y}}_i}={\hat{y}}_i-y_i$$

2. 计算$$\frac{\partial {\hat{y}}_i}{\partial b}$$

$$\frac{\partial {\hat{y}}_i}{\partial b}=\frac{\partial }{\partial b}\left[w_1{x}_{i1}+w_2{x}_{i2}+b\right]=1$$

3. 合并结果

$$\frac{\partial L}{\partial b}=\sum _{i=1}^{10}({\hat{y}}_i-y_i)\cdot 1=\sum _{i=1}^{10}({\hat{y}}_i-y_i)$$

梯度的直观意义

• 权重梯度$$\frac{\partial L}{\partial w}=X^T(\hat{y}-y)$$：
  每个特征的梯度是该特征在所有样本上的贡献之和，贡献大小由预测误差 $${\hat{y}}_i-y_i$$ 缩放。

• 偏置梯度$$\frac{\partial L}{\partial b}=\sum _{i=1}^{10}({\hat{y}}_i-y_i)$$：
  偏置的梯度是所有样本预测误差的总和，表示整体的误差方向。

  偏置的梯度是所有样本预测误差的总和，表示整体的误差方向。

5. 代入代码中的具体计算

步骤 1：前向传播计算预测值

$$\hat{y}=Xw+b$$

步骤 2：计算损失

$$l_i=\frac{1}{2}({\hat{y}}_i-y_i{)}^2$$

步骤 3：反向传播计算梯度

• 权重梯度：

$$\frac{\partial L}{\partial w}=X^T(\hat{y}-y)$$

• 偏置梯度：

$$\frac{\partial L}{\partial b}=\sum _{i=1}^{10}({\hat{y}}_i-y_i)$$

6. 验证代码与数学推导的一致性

代码中执行了 l.sum().backward()，这等价于计算总损失 $$L=\sum _{i=1}^{10}{l}_i$$ 关于 w 和 b 的梯度，完全符合上述数学推导。

最终梯度结果：

• w 的梯度为 $$X^T(\hat{y}-y)$$

• b 的梯度为 $$\sum _{i=1}^{10}({\hat{y}}_i-y_i)$$

这与 PyTorch 自动求导的结果一致

• w的估计误差: w.grad = tensor([[-9.0000],[65.4477]])
• b的估计误差: b.grad = tensor([-40.9567])