【图像处理】-- 仿射变换原理透析（附代码）-EW帮帮网

目录

背景

普通坐标表示法

平移变换

        比例变换

        旋转变换

齐次坐标表示法

        平移变换

比例变换

        旋转变换

代码

背景

仿射变换（Affine Transformation）是几何学中一种重要的线性变换，广泛应用于图像处理、计算机视觉和图形学等领域。它包括平移、旋转、缩放、剪切等操作，能够保持图像的“仿射性”，即保持点的共线性和平行线不变。仿射变换可以通过矩阵运算来表示，通常使用一个 2×3 的变换矩阵来实现对二维图像的处理。与线性变换不同的是，仿射变换允许在变换过程中加入平移操作，使其更具灵活性和实用性。在实际应用中，仿射变换常用于图像的几何校正、目标对齐、图像配准等任务，是图像处理中不可或缺的基础工具之一。

普通坐标表示法

使用 n 维坐标来表示 n维图形，对于 2 维图像，用 [ x , y ] 行向量或列向量表示

基本的变换包括 3 类：平移变换、比例变换、旋转变换

平移变换

即图像的平移，只需在向量上加上一个增量向量即可：

$\begin{bmatrix} x{}^{'}\\ y{}^{'} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x+a\\ y+b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} a\\ b \end{bmatrix}$

比例变换

即图像的拉伸、收缩，比例变换是让 x、y 坐标乘一个数，进行缩放，需乘一个二维矩阵：

$\begin{bmatrix} x^{'}\\ y^{'} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a\cdot x\\ b\cdot y\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a &0 \\ 0 &b \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}$

旋转变换

即图像的旋转，其中， $\theta$ 是图形以坐标为旋转中心旋转的角度：

$\begin{bmatrix} x^{'}\\ y^{'} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x\cos \theta -y\sin \theta \\ x\sin \theta +y\cos \theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta &-\sin\theta \\ \sin\theta& \cos\theta \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}$

上面的变换矩阵都是基于列向量的，要是想基于行向量，仅需将变换矩阵转置一下即可

除了上面的一些基本变换，还可以将这三个基本变换进行组合，形成对称、错切等变换。

齐次坐标表示法

普通坐标表示法有一个很大的问题，进行多个基本变换的混合时，平移变换是加一个向量、旋转和比例变换是乘一个矩阵，无法统一表示，这时就需要用齐次坐标表示法：

齐次坐标表示法是一种数学工具，用于在 n 维空间中描述点和向量，通过增加一个额外的维度来简化几何变换的计算。对于二维空间中的点 (x, y)，其齐次坐标形式为 (xh, yh, h)，其中 h 是非零的比例因子，通常取为 1，以便于计算。这种表示法允许所有仿射变换（包括平移、旋转、缩放）以矩阵乘法的形式统一表达，极大地方便了计算机图形学和图像处理中的应用。例如，在二维空间中使用 3×3 矩阵可以简洁地实现这些变换，而在三维空间中则使用 4×4 矩阵。这种方法不仅简化了变换过程，也便于进行透视变换等复杂操作。

基于齐次坐标的三个基本变换公式为：

平移变换

$\begin{bmatrix} x{}^{'}\\ y{}^{'}\\1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x+a\\ y+b \\ 1+0\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1 &0 &a \\ 0& 1 & b\\ 0& 0 &1 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} x\\ y\\1 \end{bmatrix}$

比例变换

$\begin{bmatrix} x^{'}\\ y^{'}\\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a\cdot x\\ b\cdot y\\ 1\cdot1\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a& 0 & 0\\ 0& b& 0\\ 0& 0 &1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x\\ y\\ 1 \end{bmatrix}$

旋转变换

$\begin{bmatrix} x^{'}\\ y^{'}\\1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x\cos \theta -y\sin \theta \\ x\sin \theta +y\cos \theta\\0+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta &-\sin \theta & 0\\ \sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0 &0 &1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x\\ y \\1\end{bmatrix}$

有了齐次坐标，对于一些混合变换，变换矩阵的维数是一样的，仅需要对各个变换矩阵相乘即可得到最终变换矩阵。

例如对任意一点（非原点）做比例变换，则需将该点先平移到原点，相对原地做比例变换后，再平移回去。

变换矩阵：

$T^{'}\cdot S^{'}\cdot T^{} =$

$\begin{bmatrix} 1 & 0&-a \\ 0&1 &-b \\ 0& 0&1 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} \lambda & 0&0 \\ 0&\beta &0 \\ 0& 0 &1 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 1 & 0&a \\ 0&1 &b \\ 0& 0&1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \lambda & 0&a\lambda-a \\ 0&\beta &b\beta -b \\ 0& 0&1 \end{bmatrix}$

仅需将最后的变换矩阵带入即可：

$\begin{bmatrix} x^{'}\\ y^{'}\\1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda & 0&a\lambda-a \\ 0&\beta &b\beta -b \\ 0& 0&1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x\\ y \\1\end{bmatrix}$

上面的变换矩阵都是基于列向量的，要是想基于行向量，仅需将变换矩阵转置一下即可

代码

这些运算设计矩阵运算，虽然直接编写代码会比较复杂，但 opencv 库已经为我们封装好了相关函数，直接调用就好。

也希望大家在编程过程中使用相关库时，最好理解其意，而不是直接 AI ，当 CV 工程师（Ctrl+C、Ctrl+V），就算 AI 的代码，也得理解其意，应当把 AI 当作学习的工具，而不是纯......，不然已经企业招人直接招 AI 了，还要你干嘛，而且学习原理过程中也能添加成就感、为代码生活增添一番风趣。

opencv 库下载：

pip install opencv-python

引入：

import cv2

应用：

import cv2
import numpy as np

# 读取图像
image = cv2.imread(r"D:\tcy_works\data\DJI\org_8b46fca2adb21a34_1751624788000.jpg")

# 获取图像尺寸
rows, cols, _ = image.shape

# 平移变换
def translate(image, tx, ty):
    # 定义平移矩阵
    matrix = np.float32([[1, 0, tx], [0, 1, ty]])
    translated = cv2.warpAffine(image, matrix, (cols, rows))
    return translated

# 旋转变换
def rotate(image, angle, center=None, scale=1.0):
    # angle 正逆负顺
    # scale 缩放因子，不进行缩放设置为1
    if center is None:
        center = (cols // 2, rows // 2)
    # 计算旋转矩阵
    matrix = cv2.getRotationMatrix2D(center, angle, scale)
    # 应用旋转矩阵
    rotated = cv2.warpAffine(image, matrix, (cols, rows))
    return rotated

# 拉伸变换（缩放变换）
def stretch(image, fx, fy):
    stretched = cv2.resize(image, None, fx=fx, fy=fy, interpolation=cv2.INTER_LINEAR)
    # INTER_LINEAR 双线性插值
    return stretched

# 应用变换
translated_image = translate(image, 50, 30)  # 向右平移50像素，向下平移30像素
rotated_image = rotate(image, 45)  # 绕中心点逆时针旋转45度
stretched_image = stretch(image, 1.5, 1.5)  # 在x轴和y轴方向上都放大1.5倍

# 显示结果
cv2.imshow('Translated Image', translated_image)
cv2.imshow('Rotated Image', rotated_image)
cv2.imshow('Stretched Image', stretched_image)

cv2.imwrite("Translated_Image.jpg", translated_image)
cv2.imwrite('Rotated_Image.jpg', rotated_image)
cv2.imwrite('Stretched_Image.jpg', stretched_image)

cv2.waitKey(0)
cv2.destroyAllWindows()

感谢您的观看！！！

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