GAMES101 lec2-数学基础1（线性代数）

发布于：2025-07-17 ⋅ 阅读:(19) ⋅ 点赞:(0)

一些依赖的内容

基本数学：
- 线性代数，微积分，统计学
基本物理：
- 光学，力学
其他
- 信号处理
- 数值分析

线性代数

一个旋转的例子

vector 向量

$AB⃗=B−A\vec{AB} = B - A$
两个核心属性：方向+长度

模长 / 单位向量

$∣∣a⃗∣∣||\vec{a}||$
单位向量 $a^=a⃗/∣∣a⃗∣∣\hat a = \vec a / ||\vec a||$

向量求和

平行四边形法则/三角形法则

坐标系下的向量代数表示

默认的向量是列向量

向量的点乘

定义： $∣∣b⃗∣∣cos⁡θ\vec a * \vec b = ||\vec a|| \, ||\vec b|| \cos \theta$
点乘与方向：点乘与 $cos⁡θ\cos \theta$ 之间互相计算的方法
计算方法： $a⃗∗b⃗=xaxb+yayb\vec a * \vec b = x_a x_b + y_a y_b$
用于计算一个向量投影到另一个向量： $∣∣b⃗⊥∣∣=∣∣b⃗∣∣∗cos⁡θ||\vec b_{\perp}|| = ||\vec b|| * \cos \theta$
向量点乘告诉前与后的信息：（相同方向/相反方向）
>0, <0, 是不是垂直，是不是接近

向量的叉乘

$sin⁡θ||\vec a \times \vec b|| = ||\vec a|| \, ||\vec b|| \, \sin \theta$
右手螺旋法则（求出方向）
不满足交换律：（加上负号） $\times b = - b \times a$
三维坐标系，叉乘的应用
叉乘性质
- 自身 $a⃗×a⃗=0⃗\vec a \times \vec a = \vec 0$
- 反交换律
- 结合律 + 分配律
代数计算方法（表示成矩阵形式重要）
应用：判定向量的左右/内外 -> 判断点是否在三角形内部
- $sign(AB⃗×AP⃗)==sign(BC⃗×BP⃗)==sign(CA⃗×CP⃗)sign(\vec{AB} \times \vec{AP}) == sign(\vec{BC} \times \vec{BP}) == sign(\vec{CA} \times \vec{CP})$ ，如果这个等式成立，那么就表示点在三角形内部
- AB - BC - CA，是一种轮换对称性，可以理解为 ABCABC 的循环选取

坐标系

u v w 三维直角坐标系
- 方便分解，方便计算

Matrix 矩阵

在图形学里，常常用矩阵来做基本变换

矩阵的乘积 $(m * n) * (n * p)$

矩阵乘积不存在交换律
结合律 $(A B) C = A (BC)$
矩阵 $(x * m)$ 左乘向量 $(m * 1)$
乘积的转置 $A B)^T = B^TA^T$
单位矩阵
逆矩阵
点乘叉乘 - 矩阵乘法