python学智能算法（二十三）|SVM-几何距离

引言

前序学习文章中，已经探究了电荷超平面的距离计算方法，相关文章为点与超平面的距离。
在这片文章中，我们了解到计算距离的公式：
$$F=\underset{i=\mathrm{1...}m}{\min }{y}_i(w\cdot x_i+b)$$

计算点与超平面的距离

对此，可以书写代码进行计算：

# 引入numpy模块
import numpy as np

# 定义example_functional_margin()函数
def example_functional_margin(w,b,x,y):
    # 先对w和x两个参数执行点击运算，然后添加偏置量b后与y相乘
    result = y*(np.dot(w,x)+b)
    return result

# 定义functional_margin()函数
def functional_margin_array(w,b,X,y):
    # 直接调用example_functional_margin()函数，按照枚举函数的顺序，逐个计算
    return np.array([example_functional_margin(w,b,x,y)
                  for i,x in enumerate(X)])

# 定义functional_margin()函数
def functional_margin(w,b,X,y):
    # 直接调用example_functional_margin()函数，按照枚举函数的顺序，逐个计算
    return np.min([example_functional_margin(w,b,x,y)
                  for i,x in enumerate(X)])

x=np.array([[1,1],
           [2,2]])
y=1

b_1=5
w_1=np.array([2,1])

w_2=w_1*10
b_2=b_1*10

# 所有结果均输出
print(functional_margin_array(w_1,b_1,x,y))
print(functional_margin_array(w_2,b_2,x,y))
# 最小结果输出
print(functional_margin(w_1,b_1,x,y))
print(functional_margin(w_2,b_2,x,y))

代码运行效果为：

在上述代码中，我们会有一个发现：在向量x不改变的前提下，如果等比率调整权重向量w和偏置量b，获得的距离F也会等比率变化。而对于超平面计算公式$$w\cdot x+b=0$$
w和x无论扩大多少倍，公式依然成立。
因此，必须进一步修正点与超平面的计算公式，消除w和b按比率变化的影响。

点与超平面距离公式修正

在先前的学习进程中，通过向量的值和方向我们已经掌握方向向量的计算方法：
$$w=(\frac{w_1}{\Vert w\Vert },\frac{w_2}{\Vert w\Vert })$$由上式可知，方向向量是一个单位向量，一个向量无论放大多少倍，方向向量都不会改变。

因此，合理的点与超平面计算公式应当回归到将w转化为单位向量，使得所有计算基准统一，定义此时的距离为几何距离δ：$$\delta =\underset{i=\mathrm{1...}m}{\min }{y}_i(\frac{w}{\Vert w\Vert }\cdot x+\frac{b}{\Vert w\Vert })$$
δ的计算和F最大的不同在于：将权重向量统一为单位向量。
此时再次计算点与超平面的距离时就不用担心权重向量w和偏置量b的取值。

# 引入numpy模块
import numpy as np

# 定义example_functional_margin()函数
def example_functional_margin(w,b,x,y):
    # 先对w和x两个参数执行点击运算，然后添加偏置量b后与y相乘
    result = y*(np.dot(w,x)+b)
    return result

# 定义functional_margin()函数
def functional_margin_array(w,b,X,y):
    # 直接调用example_functional_margin()函数，按照枚举函数的顺序，逐个计算
    return np.array([example_functional_margin(w,b,x,y)
                  for i,x in enumerate(X)])

# 定义functional_margin()函数
def functional_margin(w,b,X,y):
    # 直接调用example_functional_margin()函数，按照枚举函数的顺序，逐个计算
    return np.min([example_functional_margin(w,b,x,y)
                  for i,x in enumerate(X)])

x=np.array([[1,1],
           [2,2]])
y=1

b_1=5
w_1=np.array([2,1])

w_2=w_1*10
b_2=b_1*10

# 所有结果均输出
print(functional_margin_array(w_1,b_1,x,y))
print(functional_margin_array(w_2,b_2,x,y))
# 最小结果输出
print(functional_margin(w_1,b_1,x,y))
print(functional_margin(w_2,b_2,x,y))

# 将计算基准转化为权重矩阵的单位向量
def example_functional_margin_unit_ector(w,b,x,y):
    unit=np.linalg.norm(w)
    result=y*(np.dot(w/unit,x)+b/unit)
    return result

# 计算基于单位向量的距离
def geometric_margin(w,b,X,y):
    return np.array([example_functional_margin_unit_ector(w,b,x,y)
                     for i,x in enumerate(X)])

# 输出单位向量基准的距离
print(geometric_margin(w_1,b_1,x,y))
print(geometric_margin(w_2,b_2,x,y))

此时的计算结果为：

由计算效果可见，此时尽管w放大10倍，但计算获得的几何距离值不变。

总结

学习了几何距离的定义和计算。