概率密度函数（PDF）与概率质量函数（PMF）说明
基本概念区分
对于连续型随机变量，通常使用 概率密度函数 (Probability Density Function, PDF) 进行描述；这与离散型随机变量使用的 概率质量函数 (Probability Mass Function, PMF) 有本质区别。
- PMF：可以直接代入变量值求得对应事件的概率
- PDF：代入变量值后得到的是 概率密度值，而非概率本身
连续型随机变量的概率特性
单点概率为零
对于任意实数 x x x， P ( X = x ) = 0 P(X = x) = 0 P(X=x)=0区间概率计算
连续型变量的概率必须通过积分计算：
P ( a ≤ X ≤ b ) = ∫ a b f ( x ) d x P(a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f(x) \, dx P(a≤X≤b)=∫abf(x)dx概率密度的物理意义
PDF 在某点的取值反映该区域概率的 “密集程度”，其值的大小与概率成正比关系
PDF 的基本性质
非负性
f ( x ) ≥ 0 ∀ x ∈ R f(x) \geq 0 \quad \forall x \in \mathbb{R} f(x)≥0∀x∈R归一性
∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x = 1 \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = 1 ∫−∞+∞f(x)dx=1
概率质量函数(PDF)和累积分布函数(CDF)
互逆关系
从 PDF 到 CDF：
F ( x ) = ∫ − ∞ x f ( t ) d t F(x) = \int_{-\infty}^x f(t) \, dt F(x)=∫−∞xf(t)dt从 CDF 到 PDF：
f ( x ) = d d x F ( x ) f(x) = \frac{d}{dx} F(x) f(x)=dxdF(x)
概率计算的等价性
对于任意区间 [ a , b ] [a, b] [a,b]，概率可表示为：很多情况计算概率时,分布函数使用起来会更简单一些(避免积分运算);
P ( a < X ≤ b ) = F ( b ) − F ( a ) = ∫ a b f ( x ) d x \boxed{P(a < X \leq b) = F(b) - F(a) = \int_a^b f(x) \, dx} P(a<X≤b)=F(b)−F(a)=∫abf(x)dx
均匀分布
应用场景实例
1.在java中使用new Random().nextDouble(),生成一个 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1]之间的双精度浮点型伪随机数,数据出现在任意一个区间的可能性是相同的,换言之生成的随机数,均匀的散布在 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1]之间;
2.某公交车每30分钟固定发车一次，乘客在任意时刻到达车站。那么乘客的候车时间在 [ 0 , 30 ] [0,30] [0,30]分钟之间,并且等候任意分钟( [ 0 , 30 ] [0,30] [0,30])是等可能的;
定义
连续均匀分布（Uniform Distribution）的核心特征是概率密度在整个区间内恒定,即等可能性,是最简单的连续型概率分布之一。
记法:
X ∼ U ( a , b ) 或 X ∼ Uniform ( a , b ) \boxed{X \sim U(a,b)\quad或\quad X\sim \text{Uniform}(a,b)} X∼U(a,b)或X∼Uniform(a,b)
读作: X X X服从参数为 a , b a,b a,b的连续均匀分布;
则例1记为: X ∼ U ( 0 , 1 ) X\sim U(0,1) X∼U(0,1)
例2记为: X ∼ U ( 0 , 30 ) X\sim U(0,30) X∼U(0,30)
随机变量
连续型随机变量 X X X，其取值范围限定在某个有限区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]内，且在该区间内每个实数的取值概率密度相等。换句话说， X X X 是取值在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上均匀分布的随机数。
- 例1定义 X , X ∈ [ 0 , 1 ] X,X\in[0,1] X,X∈[0,1]是生成的随机数的值;
- 例2定义 X , X ∈ [ 0 , 30 ] X,X\in[0,30] X,X∈[0,30]为乘客的等候时间;
参数
连续均匀分布的参数有2个,即左右区间值 a , b a,b a,b;随机变量取值在这个区间内的概率是1;
函数表达
由定义可得
- 在整个定义区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上,概率均匀分布,即任意一个子集,若区间长度则概率相等.则概率相同
- P ( a ≤ X ≤ b ) = 1 P(a \le X \le b)=1 P(a≤X≤b)=1
由于概率是均匀的,则累积分布函数 F ( X ) F(X) F(X)应该是线性的,并且 F ( a ) = 0 , F ( b ) = 1 F(a)=0,F(b)=1 F(a)=0,F(b)=1;
设 F ( x ) = k x + C F(x)=kx+C F(x)=kx+C,并且有:
{ F ( a ) = 0 F ( b ) = 1 \begin{cases} F(a)=0\\ F(b)=1 \end{cases} {F(a)=0F(b)=1
解得
F ( x ) = 1 b − a x − a b − a F(x)=\frac{1}{b-a}x-\frac{a}{b-a} F(x)=b−a1x−b−aa
故概率密度函数 f ( x ) = F ′ ( x ) f(x)=F'(x) f(x)=F′(x)
f ( x ) = { 1 b − a , a ≤ X ≤ b 0 , 其他 \boxed{ f(x)= \begin{cases} \frac{1}{b-a}, \quad a \le X \le b \\ 0,\quad 其他 \end{cases}} f(x)={b−a1,a≤X≤b0,其他
即,求 X X X在 [ m , n ] [m,n] [m,n]区间上的概率即:
P ( m ≤ X ≤ n ) = ∫ m n 1 b − a d x = n − m b − a , a ≤ m ≤ n ≤ b \boxed{ P(m \le X \le n) = \int_{m}^{n}\frac{1}{b-a} \, dx=\frac{n-m}{b-a},\quad a \le m \le n \le b} P(m≤X≤n)=∫mnb−a1dx=b−an−m,a≤m≤n≤b
分布特征值
- 期望,很好理解就是定于区间的juzn
E ( X ) = a + b 2 E(X)=\frac{a+b}{2} E(X)=2a+b - 方差 Var ( X ) = ( b − a ) 2 12 \text{Var}(X)=\frac{(b-a)^2}{12} Var(X)=12(b−a)2
推导:
对于连续型随机变量 X X X，其概率密度函数为 f ( x ) f(x) f(x)，期望 E ( x ) E(x) E(x)定义为:
E ( X ) = ∫ − ∞ + ∞ x ⋅ f ( x ) d x \begin{align*} E(X)&=\int_{-\infty}^{+\infty}x\cdot f(x)dx\\ \end{align*} E(X)=∫−∞+∞x⋅f(x)dx
对于服从均匀分布的随机变量 X ∼ U ( a , b ) X\sim U(a,b) X∼U(a,b)则有:
E ( X ) = ∫ b a x ⋅ 1 b − a d x = 1 b − a ∫ b a x d x = 1 b − a × [ x 2 2 ] a b = 1 b − a × b 2 − a 2 2 = a + b 2 \begin{align*} E(X)&=\int_{b}^{a}x\cdot \frac{1}{b-a}dx\\ &= \frac{1}{b-a}\int_{b}^{a}xdx\\ &= \frac{1}{b-a}\times \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{a}^{b}\\ &=\frac{1}{b-a}\times\frac{b^2-a^2}{2}\\ &=\frac{a+b}{2} \end{align*} E(X)=∫bax⋅b−a1dx=b−a1∫baxdx=b−a1×[2x2]ab=b−a1×2b2−a2=2a+b
方差 Var ( X ) \text{Var}(X) Var(X)定义为:
Var ( X ) = E ( X 2 ) − [ E ( X ) ] 2 \text{Var}(X)=E(X^2)-[E(X)]^2 Var(X)=E(X2)−[E(X)]2
对于服从均匀分布的随机变量 X ∼ U ( a , b ) X\sim U(a,b) X∼U(a,b)则有:
E ( X 2 ) = ∫ b a x 2 ⋅ 1 b − a d x = 1 b − a ∫ b a x 2 d x = 1 b − a × [ x 3 3 ] a b = 1 b − a × b 3 − a 3 3 = 1 b − a × ( b − a ) ( a 2 + a b + b 2 ) 3 = a 2 + a b + b 2 3 \begin{align*} E(X^2)&=\int_{b}^{a}x^2\cdot \frac{1}{b-a}dx\\ &= \frac{1}{b-a}\int_{b}^{a}x^2dx\\ &= \frac{1}{b-a}\times \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{a}^{b}\\ &=\frac{1}{b-a}\times\frac{b^3-a^3}{3}\\ &=\frac{1}{b-a}\times\frac{(b-a)(a^2+ab+b^2)}{3}\\ &=\frac{a^2+ab+b^2}{3} \end{align*} E(X2)=∫bax2⋅b−a1dx=b−a1∫bax2dx=b−a1×[3x3]ab=b−a1×3b3−a3=b−a1×3(b−a)(a2+ab+b2)=3a2+ab+b2
E ( X ) 2 = ( a + b 2 ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 4 \begin{align*} E(X)^2&=(\frac{a+b}{2})^2\\ &=\frac{a^2+2ab+b^2}{4} \end{align*} E(X)2=(2a+b)2=4a2+2ab+b2
Var ( X ) = E ( X 2 ) − [ E ( X ) ] 2 = a 2 + a b + b 2 3 − a 2 + 2 a b + b 2 4 = 4 a 2 + 4 a b + 4 b 2 − 3 a 2 − 6 a b − 3 b 2 12 = a 2 − 2 a b + b 2 12 = ( b − a ) 2 12 \begin{align*} \text{Var}(X)&=E(X^2)-[E(X)]^2\\ &=\frac{a^2+ab+b^2}{3}-\frac{a^2+2ab+b^2}{4}\\ &=\frac{4a^2+4ab+4b^2-3a^2-6ab-3b^2}{12}\\ &=\frac{a^2-2ab+b^2}{12}\\ &=\frac{(b-a)^2}{12} \end{align*} Var(X)=E(X2)−[E(X)]2=3a2+ab+b2−4a2+2ab+b2=124a2+4ab+4b2−3a2−6ab−3b2=12a2−2ab+b2=12(b−a)2
自己操作试试吧,可视化查看: 连续均匀分布
