考点一：方阵的幂
1. 计算方法
(1) 找规律法
- 适用场景：低阶矩阵或具有周期性规律的矩阵。
- 示例：
计算 A=(0110)nA = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^nA=(0110)n：- 当 nnn 为奇数时，An=AA^n = AAn=A；
- 当 nnn 为偶数时，An=IA^n = IAn=I。
(2) 成比例法
- 结论：若矩阵 AAA 的秩 r(A)<nr(A) < nr(A)<n，则 An=0A^n = 0An=0（当 n≥r(A)+1n \geq r(A)+1n≥r(A)+1 时）。
- 示例：
A=(0100)A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}A=(0010)，则 A2=0A^2 = 0A2=0。
(3) 相似对角化法
- 步骤：
- 求矩阵 AAA 的特征值 λi\lambda_iλi；
- 若 AAA 可对角化（即存在可逆矩阵 PPP 使 P−1AP=ΛP^{-1}AP = \LambdaP−1AP=Λ），则 An=PΛnP−1A^n = P\Lambda^n P^{-1}An=PΛnP−1。
- 示例：
A=(2102)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}A=(2012)，其特征值为 λ1=λ2=2\lambda_1 = \lambda_2 = 2λ1=λ2=2，则 An=2n−1(2n02)A^n = 2^{n-1} \begin{pmatrix} 2 & n \\ 0 & 2 \end{pmatrix}An=2n−1(20n2)。
(4) 二项式展开法
- 适用场景：矩阵可表示为 A=B+CA = B + CA=B+C，其中 B,CB, CB,C 可交换且 CCC 易求幂。
- 公式：
(B+C)n=∑k=0nCnkBn−kCk (B + C)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k B^{n-k} C^k (B+C)n=k=0∑nCnkBn−kCk
考点二：矩阵的转置、伴随、逆
1. 转置矩阵
- 性质：
- ∣AT∣=∣A∣|A^T |=|A|∣AT∣=∣A∣
- (kA)T=kAT(kA)^T = k A^T(kA)T=kAT
- (AT)T=A(A^T)^T=A(AT)T=A
- (AB)T=BTAT(AB)^T=B^TA^T(AB)T=BTAT
- (AT)∗=(A∗)T(A^T)^*=(A^*)^T(AT)∗=(A∗)T
- 矩阵A为对称矩阵：∣AT∣=∣A∣|A^T |=|A|∣AT∣=∣A∣
- (A+B)T=AT+BT(A+B)^T=A^T+B^T(A+B)T=AT+BT（
特别记忆）
2. 伴随矩阵
- 定义：A∗=(adj(A))ij=(−1)i+jMjiA^* = (\mathrm{adj}(A))_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ji}A∗=(adj(A))ij=(−1)i+jMji，其中 MjiM_{ji}Mji 为余子式。
- 性质：
- ∣A∗∣=∣A∣n−1|A^* |=|A|^{n-1}∣A∗∣=∣A∣n−1
- (kA)∗=kn−1A∗(kA)^* = k^{n-1} A^*(kA)∗=kn−1A∗
- (A∗)∗=∣A∣n−2A(A^*)^*=|A|^{n-2} A(A∗)∗=∣A∣n−2A
- (AB)∗=B∗A∗(AB)^*=B^*A^*(AB)∗=B∗A∗
- (A∗)−1=(A−1)∗(A^*)^{-1}=(A^{-1})^*(A∗)−1=(A−1)∗
3. 逆矩阵
- 存在条件：
- ∣A∣≠0|A| \neq 0∣A∣=0
- 矩阵的行（列）向量组线性无关
- 矩阵满秩（r(A)=nr(A) = nr(A)=n）
- 求逆方法：
- 伴随矩阵法：A−1=1∣A∣A∗A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^*A−1=∣A∣1A∗
- 初等变换法：对 (A∣E)(A | E)(A∣E) 进行行变换，化为 (E∣A−1)(E| A^{-1})(E∣A−1)。
- 性质：
- ∣A−1∣=∣A∣−1|A^{-1} |=|A|^{-1}∣A−1∣=∣A∣−1
- (kA)−1=k−1A−1(kA)^{-1} = k^{-1} A^{-1}(kA)−1=k−1A−1
- (A−1)−1=A(A^{-1})^{-1}=A(A−1)−1=A
- (AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}(AB)−1=B−1A−1
- (A−1)T=(AT)−1(A^{-1})^{T}=(A^{T})^{-1}(A−1)T=(AT)−1
考点三：初等变换与初等矩阵
1. 初等矩阵分类与运算
- 行（列）交换：交换初等矩阵 EEE 的 第 iii 行与第 jjj 行
- 逆：Eij−1=EijE_{ij}^{-1} =E_{ij}Eij−1=Eij
- 转置：EijT=EijE_{ij}^{T} =E_{ij}EijT=Eij
- 伴随： Eij∗=−EijE_{ij}^{*} =-E_{ij}Eij∗=−Eij (可以通过矩阵的逆推导 )
- 行（列）倍乘：将初等矩阵 EEE 的 第 iii 行乘 kkk 倍
- 逆：Ei−1(k)=Ei(1k)E_{i}^{-1}(k) =E_{i}(\frac{1}{k})Ei−1(k)=Ei(k1)
- 转置：EiT(k)=Ei(k)E_{i}^{T}(k) =E_{i}({k})EiT(k)=Ei(k)
- 伴随： Ei∗(k)=kEi(1k)E_{i}^{*}(k) =kE_{i}(\frac{1}{k})Ei∗(k)=kEi(k1)
- 行（列）倍加：交换初等矩阵 EEE 的 第 iii 行乘 kkk 倍加到第 jjj 行
- 逆：Eij−1(k)=Eij(−k)E_{ij}^{-1}(k) =E_{ij}(-k)Eij−1(k)=Eij(−k)
- 转置：EijT(k)=Eji(k)E_{ij}^{T}(k) =E_{ji}(k)EijT(k)=Eji(k)
注意这里的下标交换了位置 - 伴随：Eij∗(k)=Eij(−k)E_{ij}^{*}(k) =E_{ij}(-k)Eij∗(k)=Eij(−k)
初等行变化，左乘初等矩阵；初等列变化，右乘初等矩阵。左行右列
2. 核心性质
- 可逆性：初等矩阵均可逆，且逆矩阵仍为初等矩阵。
- 矩阵分解：可逆矩阵 AAA 可表示为有限个初等矩阵的乘积，即 A=P1P2⋯PkA = P_1 P_2 \cdots P_kA=P1P2⋯Pk。
- 秩的不变性：初等变换不改变矩阵的秩。
考点四：矩阵的秩常用结论
1. 基本性质
- r(A)=r(AT)r(A) = r(A^T)r(A)=r(AT)
- r(kA)=r(A)r(kA) = r(A)r(kA)=r(A)（k≠0k \neq 0k=0）
- 若 AAA 可逆，则 r(AB)=r(B)r(AB) = r(B)r(AB)=r(B)
- max{r(A),r(B)}≤r(A,B)≤r(A)+r(B)max\{r(A),r(B)\} \leq r(A,B) \leq r(A)+ r(B)max{r(A),r(B)}≤r(A,B)≤r(A)+r(B)
- 相似矩阵秩相等
2. 分块矩阵秩
- r(A)+r(B)=r(A00B)≤r(AC0B)r(A) + r(B) = r\begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{pmatrix} \leq r\begin{pmatrix} A & C \\ 0 & B \end{pmatrix}r(A)+r(B)=r(A00B)≤r(A0CB)
- r(AAB)=r(A0)=r(A)r\begin{pmatrix} A & AB \end{pmatrix} = r\begin{pmatrix} A & 0 \end{pmatrix} = r(A)r(AAB)=r(A0)=r(A)
- r(ABA)=r(A0)=r(A)r\begin{pmatrix} A \\ BA \end{pmatrix} = r\begin{pmatrix} A \\ 0 \end{pmatrix} = r(A)r(ABA)=r(A0)=r(A)
3. 矩阵乘积秩
- r(AB)≤min{r(A),r(B)}r(AB) \leq \min\{r(A), r(B)\}r(AB)≤min{r(A),r(B)} 越乘秩越小
- 若 Am×nBn×l=0A_{m×n} B_{n×l}=0Am×nBn×l=0 则有 r(A)+r(B)≤nr(A) + r(B) \leq nr(A)+r(B)≤n
4. 其他结论
- r(A∗)=r(A^*) =r(A∗)=
- nnn 当 r(A)=nr(A) = nr(A)=n 时；
- 111 当 r(A)=n−1r(A) = n - 1r(A)=n−1 时；
- 000 当 r(A)<n−1r(A) < n - 1r(A)<n−1 时；
五、实战技巧
- 矩阵幂计算：优先判断是否可对角化，若不可对角化则尝试找递推规律。
- 逆矩阵验证：验证 AA−1=EAA^{-1} = EAA−1=E 或通过伴随矩阵公式计算。
- 秩的快速判断：通过初等行变换化为阶梯形矩阵，非零行数即为秩。
总结：矩阵的核心在于理解其结构特性（如幂、逆、秩）与变换工具（如初等变换、伴随矩阵）。掌握这些方法，可高效解决线性代数中的复杂问题！ 🚀
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