题目描述
从一个 N * M（N ≤ M）的矩阵中选出 N 个数，任意两个数字不能在同一行或同一列，求选出来的 N 个数中第 K 大的数字的最小值是多少。
输入描述：
输入矩阵要求：1 ≤ K ≤ N ≤ M ≤ 150
输入格式：
N M K
N*M矩阵
输出描述：
N*M 的矩阵中可以选出 M! / N! 种组合数组，每个组合数组种第 K 大的数中的最小值。无需考虑重复数字，直接取字典排序结果即可。
备注：
注意：结果是第 K 大的数字的最小值
示例1：
输入：
3 4 2
1 5 6 6
8 3 4 3
6 8 6 3
输出：
3
说明：
N*M的矩阵中可以选出 M！/ N！种组合数组，每个组合数组种第 K 大的数中的最小值；
上述输入中选出数组组合为：
1,3,6;
1,3,3;
1,4,8;
1,4,3;
......
上述输入样例中选出的组合数组有24种，最小数组为1,3,3，则第2大的最小值为3
题解
根据要求，每行每列只能有一个元素被选择，即可以认为每个行号只能和一个列号进行配对，且配对过的列号不能再和其他行号配对，而形成了配对关系的行号，列号，其实就是一个元素的坐标位置。
因此，找N个互相不同行同列的元素，其实就是在二分图（所有行号一部分，所有列号一部分）找N个边的匹配。
如下图所示
关于二分图的知识可以看下：
HDU - 2063 过山车（Java & JS & Python & C）-CSDN博客
题目需要我们多组N个元素中的第K大元素的最小取值，
换位思考一下，假设我们已经知道了第K大的最小取值是kth，那么：
- 检查矩阵中是否至多找到（N - K + 1 个） ≤ kth 的元素值，且这些元素值互不同行同列
N个数中，有K-1个数比kth大，那么相对应的有 (N - (K-1)) = (N - K + 1 ) 个数 ≤ kth。
即找的 N - K + 1 个数中包含了 kth（第K大值）本身。
而kth的大小和二分图最大匹配是正相关的，因为：
每个匹配边 其实就是 行号到列号的配对连线
而行号和列号的组合其实就是坐标位置，根据坐标位置可以得到一个矩阵元素值
因此kth越小，意味着可以找到的 ≤ kth 的矩阵元素越少，相反的，kth 越大，则找到的 ≤ kth 的矩阵元素越多。
因此kth值大小和二分图最大匹配数是线性关系，我们可以使用二分法，来枚举kth。
二分枚举的范围是：1 ~ 矩阵元素最大值，这里不用担心二分枚举到kth不是矩阵元素，因为这种情况会被过滤掉，原因是：我们要找 N - K + 1 个 <= kth 的矩阵元素，最后把关的必然是 kth 本身，即我们必然要在矩阵中找到一个 kth 值，如果二分枚举到的 kth 不是矩阵元素，则无法满足这个要求。
二分枚举到一个kth值：
- 如果kth使得二分图最大匹配 >= N-K+1 个，则说明当前kth取大了，我们应该尝试更小的kth值，即缩小二分右边界为kth-1
- 如果kth使得二分图最大匹配 < N-K+1 个，则说明当前kth取小了，我们应该继续尝试更大的kth值，即扩大二分左边界为kth+1
当二分左右边界重合时的kth值即为题解。
import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;
public class Main {
static int n;
static int m;
static int k;
static int[][] matrix;
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
n = sc.nextInt();
m = sc.nextInt();
k = sc.nextInt();
int min = 1;
int max = Integer.MIN_VALUE;
matrix = new int[n][m];
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < m; j++) {
matrix[i][j] = sc.nextInt();
max = Math.max(max, matrix[i][j]);
}
}
// 二分枚举第K大值
while (min <= max) {
// mid就是被枚举出来的N个数中的第K大值
int mid = (min + max) >> 1;
// 检查mid作为N个数中第K大值时，是否存在N-K+1个不大于它的值
if (check(mid)) {
max = mid - 1;
} else {
min = mid + 1;
}
}
System.out.println(min);
}
public static boolean check(int kth) {
// 利用二分图最大匹配来求解，小于等于kth（第K大值）的元素个数（即二分图最大匹配）
int smallerCount = 0;
// 记录每个列号的匹配成功的行号
int[] match = new int[m];
// 初始时每个列号都处于未配对状态，此时将列号配对的行号赋值为-1
Arrays.fill(match, -1);
// 遍历行号，每个行号对互相心仪的列号发起配对请求
for (int i = 0; i < n; i++) {
// 记录增广路访问过的列号
boolean[] vis = new boolean[m];
if (dfs(i, kth, match, vis)) smallerCount++;
}
return smallerCount >= n - k + 1;
}
public static boolean dfs(int i, int kth, int[] match, boolean[] vis) {
// 行号 i 发起了配对请求
// 遍历每一个列号j
for (int j = 0; j < m; j++) {
// 如果当前列号j未被增广路探索过 && 当前列j行i可以配对（如果行列号位置(i,j)对应矩阵元素值小于等于kth（第K大值），则可以配对）
if (!vis[j] && matrix[i][j] <= kth) {
vis[j] = true;
// 如果对应列号j未配对，或者，已配对但是配对的行号match[j]可以找到其他列号重新配对
if (match[j] == -1 || dfs(match[j], kth, match, vis)) {
// 则当前行号i 和 列号j 可以配对
match[j] = i;
return true;
}
}
}
return false;
}
}