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一、引例——鲸鱼研究
有生态学家对生活在北冰洋水域的鲸鱼进行了跟踪研究，他们利用一台水下无人机来探测鲸鱼数量，这是近十天的数据：
| 第1天 | 第2天 | 第3天 | 第4天 | 第5天 | 第6天 | 第7天 | 第8天 | 第9天 | 第10天 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 10 | 10 | 14 | 12 | 11 | 15 | 8 | 9 | 7 | 6 |
最后四天鲸鱼数目的连续减少趋势令人担忧，水质恶化吗？。
注意到每天探测到的鲸鱼不会是同时发生的，而是分散在一天的不同时间段。
这事实上是一个随机事件的时间分布，于是我们将一天时间划分为12段，那么第一天的数据如下：
那么对于这组数据，鲸鱼出现的概率 p = 5/6
我们试图把鱼群数量转换成时间上的二项分布，那么 12 个 时间段就转化成了一个二项分布，一天内出现10头鲸鱼的概率如下：
C n k ⋅ p k ⋅ ( 1 − p ) n − k = C 12 10 ⋅ ( 5 6 ) 10 ⋅ ( 1 6 ) 2 = 0.2961 C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} = C_{12}^{10} \cdot (\frac{5}{6})^{10} \cdot (\frac{1}{6})^2 = 0.2961 Cnk⋅pk⋅(1−p)n−k=C1210⋅(65)10⋅(61)2=0.2961
这正是 拉普拉斯 得意门生 西莫恩·德尼·泊松(1781~1840) 的思路。
前面我们选取的是第一天的数据，我们现在选取第二天的数据，有14头鲸鱼，12个时间段有些不够用，于是我们划分成24个时间段。
则一天中出现14头鲸鱼的概率：
p i = 14 24 = 7 12 则 C n k ⋅ p k ⋅ ( 1 − p ) n − k = C 24 14 ⋅ ( 7 12 ) 14 ⋅ ( 5 12 ) 10 = 0.1634 \begin{align} & p_i = \frac{14}{24} = \frac{7}{12} & 则 C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} = C_{24}^{14} \cdot (\frac{7}{12})^{14} \cdot (\frac{5}{12})^{10} = 0.1634 \end{align} pi=2414=127则Cnk⋅pk⋅(1−p)n−k=C2414⋅(127)14⋅(125)10=0.1634
但是我们上面的思考有一个漏洞就：一个时间段是有可能有多头鲸鱼出现的
这说明什么？时间段太大了！我们直接把一天划分成无数个时间段，单独每个时间段都趋于无穷小，这样无论两头鲸鱼的时间挨得有多近，都能区分开来，则有：
l i m n → ∞ C n k ⋅ p k ⋅ ( 1 − p ) n − k ，其中： n 代表时间分段数， p 代表任意时间段内鲸鱼出现的概率 p 的估计不再以某一天数据为准，而是选取平均值，即 p = μ n \begin{align} & lim_{n \rightarrow \infty} C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}，其中：\\ & n代表时间分段数，p代表任意时间段内鲸鱼出现的概率 \\ & p的估计不再以某一天数据为准，而是选取平均值，即 p = \frac{\mu}{n} \end{align} limn→∞Cnk⋅pk⋅(1−p)n−k，其中：n代表时间分段数，p代表任意时间段内鲸鱼出现的概率p的估计不再以某一天数据为准，而是选取平均值，即p=nμ
公式的进一步推导：
l i m n → ∞ C n k ⋅ p k ⋅ ( 1 − p ) n − k = l i m n → ∞ C n k ⋅ ( μ n ) k ⋅ ( 1 − μ n ) n − k = lim n → ∞ n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ⋯ ( n − k + 1 ) k ! ⋅ μ k n k ⋅ ( 1 − μ n ) n − k = μ k k ! ⋅ lim n → ∞ n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ⋯ ( n − k + 1 ) n k ⋅ ( 1 − μ n ) n − k = μ k k ! ⋅ lim n → ∞ n n ( n − 1 ) n ( n − 2 ) n ⋯ ( n − k + 1 ) n ⋅ ( 1 − μ n ) n − k = μ k k ! ⋅ lim n → ∞ 1 ⋅ 1 … 1 ⋅ ( 1 − μ n ) n − k = μ k k ! ⋅ lim n → ∞ ( 1 − μ n ) n − k = μ k k ! ⋅ lim n → ∞ ( 1 − μ n ) n ⋅ lim n → ∞ ( 1 − μ n ) − k = μ k k ! ⋅ lim n → ∞ ( 1 − μ n ) n = μ k k ! e − μ ( 等价无穷小 ) \begin{align} & lim_{n \rightarrow \infty} C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \\ =& lim_{n \rightarrow \infty} C_n^k \cdot (\frac{\mu}{n})^k \cdot (1-\frac{\mu}{n})^{n-k} \\ =& \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n(n-1)(n-2) \cdots(n-k+1)}{k!} \cdot \frac{\mu^{k}}{n^{k}} \cdot\left(1-\frac{\mu}{n}\right)^{n-k} \\ =& \frac{\mu^{k}}{k!} \cdot \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n(n-1)(n-2) \cdots(n-k+1)}{n^{k}} \cdot\left(1-\frac{\mu}{n}\right)^{n-k} \\ =& \frac{\mu^{k}}{k!} \cdot \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{n} \frac{(n-1)}{n} \frac{(n-2)}{n} \cdots \frac{(n-k+1)}{n} \cdot\left(1-\frac{\mu}{n}\right)^{n-k} \\ =& \frac{\mu^{k}}{k!} \cdot \lim _{n \rightarrow \infty} 1 \cdot 1 \dots 1 \cdot\left(1-\frac{\mu}{n}\right)^{n-k} \\ =& \frac{\mu^{k}}{k!} \cdot \lim _{n \rightarrow \infty} \left(1-\frac{\mu}{n}\right)^{n-k} \\ =& \frac{\mu^{k}}{k!} \cdot \lim _{n \rightarrow \infty} \left(1-\frac{\mu}{n}\right)^{n} \cdot \lim _{n \rightarrow \infty} \left(1-\frac{\mu}{n}\right)^{-k} \\ =& \frac{\mu^{k}}{k!} \cdot \lim _{n \rightarrow \infty} \left(1-\frac{\mu}{n}\right)^{n} \\ =& \frac{\mu^{k}}{k!} e^{-\mu} (等价无穷小) \\ \end{align} =========limn→∞Cnk⋅pk⋅(1−p)n−klimn→∞Cnk⋅(nμ)k⋅(1−nμ)n−kn→∞limk!n(n−1)(n−2)⋯(n−k+1)⋅nkμk⋅(1−nμ)n−kk!μk⋅n→∞limnkn(n−1)(n−2)⋯(n−k+1)⋅(1−nμ)n−kk!μk⋅n→∞limnnn(n−1)n(n−2)⋯n(n−k+1)⋅(1−nμ)n−kk!μk⋅n→∞lim1⋅1…1⋅(1−nμ)n−kk!μk⋅n→∞lim(1−nμ)n−kk!μk⋅n→∞lim(1−nμ)n⋅n→∞lim(1−nμ)−kk!μk⋅n→∞lim(1−nμ)nk!μke−μ(等价无穷小)
二、泊松分布
我们把上面的μ 换成 λ，就得到了我们熟悉的泊松分布公式：
λ k k ! e − λ ，其中 λ 代表给定时间段或空间区域内，随机事件平均发生的次数。 \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}，其中 \lambda 代表给定时间段或空间区域内，随机事件平均发生的次数。 k!λke−λ，其中λ代表给定时间段或空间区域内，随机事件平均发生的次数。
我们利用该公式计算引例中各时间段鲸鱼出现数目的可能性，并用柱状图来表示：
我们取显著性水平为 5%，那么从图中可以得知，鲸鱼数目在[5, 15]都是正常范围，我们的样本都在正常范围内。
有时候我们会用用泊松分布近似二项分布，一般在 试验次数n 很大，成功概率 p 很小，且 λ = np 为有限值时，二项分布可以用泊松分布来近似，经过前面的推导，不难明白其中缘由。