【C++】二叉搜索树

发布于：2025-07-27 ⋅ 阅读:(19) ⋅ 点赞:(0)

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二叉搜索树概念

二叉搜索树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树:
若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值。
若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值。
它的左右子树也分别为二叉搜索树。
在这里插入图片描述

二叉搜索树的实现

完整代码如下。

#include <iostream>
using  namespace std;

template<class K>
struct BSTreeNode
{
	BSTreeNode<K>* _left;
	BSTreeNode<K>* _right;
	K _key; 

	BSTreeNode(const K& key)
		:_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_key(key)
	{}
};

template<class K>
class BSTree
{
	typedef  BSTreeNode<K> Node;

public:
	bool Insert(const K& key)
	{

		//避免这颗树一开始是空的
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(key);
			return	true;
		}

		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_key < key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_key > key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}
		cur = new Node(key);
		if (parent->_key > key)
		{
			parent->_left = cur;
		}
		else
		{
			parent->_right = cur;
		}
		return true;
	}

	bool Find(const K& key)
	{
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_key < key)
			{
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_key > key)
			{
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return true;
			}
		}
		return false; 
	}

	bool Erase(const K& key)
	{
		Node* parent = nullptr;  // 记录当前节点的父节点
		Node* cur = _root;       // 从根节点开始查找

		// 遍历二叉搜索树查找要删除的节点
		while (cur)
		{
			if (cur->_key < key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;  // 向右子树查找
			}
			else if (cur->_key > key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;   // 向左子树查找
			}
			else  // 找到要删除的节点
			{
				// 情况1：左子树为空
				if (cur->_left == nullptr)
				{
					if (cur == _root)  // 如果删除的是根节点
					{
						_root = cur->_right;  // 根节点更新为右子节点
					}
					else
					{
						// 根据当前节点是父节点的左子节点还是右子节点进行相应更新
						if (cur == parent->_left)
						{
							parent->_left = cur->_right;
						}
						else
						{
							parent->_right = cur->_right;
						}
					}
					delete cur;  // 释放节点内存
				}
				// 情况2：右子树为空
				else if (cur->_right == nullptr)
				{
					if (cur == _root)  // 如果删除的是根节点
					{
						_root = cur->_left;  // 根节点更新为左子节点
					}
					else
					{
						// 根据当前节点是父节点的左子节点还是右子节点进行相应更新
						if (cur == parent->_left)
						{
							parent->_left = cur->_left;
						}
						else
						{
							parent->_right = cur->_left;
						}
					}
					delete cur;  // 释放节点内存
				}
				// 情况3：左右子树都不为空
				else
				{
					// 找到右子树中的最小节点（中序后继节点）及其父节点
					Node* rightMinParent = cur;
					Node* rightMin = cur->_right;

					while (rightMin->_left)
					{
						rightMinParent = rightMin;
						rightMin = rightMin->_left;
					}

					// 交换当前节点和右子树最小节点的值
					swap(cur->_key, rightMin->_key);

					// 移除右子树中的最小节点
					if (rightMinParent == cur)  // 右子树没有左子节点的情况
					{
						rightMinParent->_right = rightMin->_right;
					}
					else
					{
						rightMinParent->_left = rightMin->_right;
					}

					delete rightMin;  // 释放节点内存
				}
				return true;  // 删除成功
			}
		}
		return false;  // 未找到要删除的节点
	}

	void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);
		cout << endl;
	}

private:
	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return;
		}
		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_key << " ";
		_InOrder(root->_right);
	}

private:
	Node* _root = nullptr;
};

Insert插入节点

插入的具体过程如下：
a. 树为空，则直接新增节点，赋值给root指针。
b. 树不空，按二叉搜索树性质查找插入位置，插入新节点。

bool Insert(const K& key)
{

	//避免这颗树一开始是空的
	if (_root == nullptr)
	{
		_root = new Node(key);
		return	true;
	}

	Node* parent = nullptr;
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (cur->_key < key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->_key > key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else
		{
			return false;
		}
	}
	cur = new Node(key);
	if (parent->_key > key)
	{
		parent->_left = cur;
	}
	else
	{
		parent->_right = cur;
	}
	return true;
}

Find查找节点

a、从根开始比较，查找，比根大则往右边走查找，比根小则往左边走查找。
b、最多查找高度次，走到到空，还没找到，这个值不存在。

bool Find(const K& key)
{
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (cur->_key < key)
		{
			cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->_key > key)
		{
			cur = cur->_left;
		}
		else
		{
			return true;
		}
	}
	return false; 
}

Erase删除节点

bool Erase(const K& key)
{
	Node* parent = nullptr;  // 记录当前节点的父节点
	Node* cur = _root;       // 从根节点开始查找

	// 遍历二叉搜索树查找要删除的节点
	while (cur)
	{
		if (cur->_key < key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;  // 向右子树查找
		}
		else if (cur->_key > key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;   // 向左子树查找
		}
		else  // 找到要删除的节点
		{
			// 情况1：左子树为空
			if (cur->_left == nullptr)
			{
				if (cur == _root)  // 如果删除的是根节点
				{
					_root = cur->_right;  // 根节点更新为右子节点
				}
				else
				{
					// 根据当前节点是父节点的左子节点还是右子节点进行相应更新
					if (cur == parent->_left)
					{
						parent->_left = cur->_right;
					}
					else
					{
						parent->_right = cur->_right;
					}
				}
				delete cur;  // 释放节点内存
			}
			// 情况2：右子树为空
			else if (cur->_right == nullptr)
			{
				if (cur == _root)  // 如果删除的是根节点
				{
					_root = cur->_left;  // 根节点更新为左子节点
				}
				else
				{
					// 根据当前节点是父节点的左子节点还是右子节点进行相应更新
					if (cur == parent->_left)
					{
						parent->_left = cur->_left;
					}
					else
					{
						parent->_right = cur->_left;
					}
				}
				delete cur;  // 释放节点内存
			}
			// 情况3：左右子树都不为空
			else
			{
				// 找到右子树中的最小节点（中序后继节点）及其父节点
				Node* rightMinParent = cur;
				Node* rightMin = cur->_right;

				while (rightMin->_left)
				{
					rightMinParent = rightMin;
					rightMin = rightMin->_left;
				}

				// 交换当前节点和右子树最小节点的值
				swap(cur->_key, rightMin->_key);

				// 移除右子树中的最小节点
				if (rightMinParent == cur)  // 右子树没有左子节点的情况
				{
					rightMinParent->_right = rightMin->_right;
				}
				else
				{
					rightMinParent->_left = rightMin->_right;
				}

				delete rightMin;  // 释放节点内存
			}
			return true;  // 删除成功
		}
	}
	return false;  // 未找到要删除的节点
}

如下图，各个情况的示意图都画出来了，对应去理解。

在这里插入图片描述

InOrder中序遍历

这里比较有意思了，就是如果将下面写成public去调用的时候你会发现调用不了，因为需要root，而它又是私有的，所以这种情况有三种解决方式，第一种就是友元，但是我们这个有点没有边界感了，关联性很低，没必要用友元，第二种就是和java一样，提供一个get()函数去获取root，第三种就是我们这种，套一层既方便又省事。

	void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);
		cout << endl;
	}

private:
	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return;
		}
		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_key << " ";
		_InOrder(root->_right);
	}

二叉搜索树的应用

  1. K模型：K模型即只有key作为关键码，结构中只需要存储Key即可，关键码即为需要搜索到的值。
    比如：给一个单词word，判断该单词是否拼写正确，具体方式如下：
    以词库中所有单词集合中的每个单词作为key，构建一棵二叉搜索树
    在二叉搜索树中检索该单词是否存在，存在则拼写正确，不存在则拼写错误。
  2. KV模型：每一个关键码key，都有与之对应的值Value，即<Key, Value>的键值对。该种方式在现实生活中非常常见：
    比如英汉词典就是英文与中文的对应关系，通过英文可以快速找到与其对应的中文，英文单词与其对应的中文<word, chinese>就构成一种键值对；
    再比如统计单词次数，统计成功后，给定单词就可快速找到其出现的次数，单词与其出现次数就是<word, count>就构成一种键值对。

二叉搜索树的性能分析

插入和删除操作都必须先查找，查找效率代表了二叉搜索树中各个操作的性能。
对有n个结点的二叉搜索树，若每个元素查找的概率相等，则二叉搜索树平均查找长度是结点在二叉搜索树的深度的函数，即结点越深，则比较次数越多。
但对于同一个关键码集合，如果各关键码插入的次序不同，可能得到不同结构的二叉搜索树：
在这里插入图片描述
最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树(或者接近完全二叉树)，其平均比较次数为： l o g 2 N log_2 N log2​N。
最差情况下，二叉搜索树退化为单支树(或者类似单支)，其平均比较次数为： N 2 \frac{N}{2} 2N​。
如果退化成单支树，二叉搜索树的性能就失去了。所以AVL树和红黑树出来啦，它们可以进行改进，不论按照什么次序插入关键码，二叉搜索树的性能都能达到最优。

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