【WebGPU学习杂记】数学基础拾遗（2）变换矩阵中的齐次坐标推导与几何理解

今天打算开始 3D 数学基础的复习，本文假设你了解以下概念：一次多项式、矩阵、向量，基于以上拓展的概念 归一化、2～3阶矩阵的几何意义。

几何意义结论

• 齐次坐标是对三维的人工的特定的升维，它是一个工具而已。图形学中常用来作为变换矩阵（平移、斜切、旋转、缩放）中的平移。因为平移是一个仿射变换（另外三项人家不管怎么变都没有改变$原点O(0,0)$的位置）。直接在三维中不好求解，升维后非常 “便于计算”。
• 通常假设经过变换矩阵后的点为 $(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime },1)$，也就是固定维度$w=1$ 的三维空间。类比理解三维空间中固定其中一个维度的数值，其意义就是一个平面，例如固定$Z$后就能得到无数的点$(x,y,z)\to (x,y)$构成的$平面OXY$，而这个动作叫 “投影” —— 高维度向低维度的投影。我们不必关心高维如何变化什么意义，只需要知道它可以求得我们渴求的变化结果 $(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$，至于什么 “投影” 概念一边凉快儿去！

$$\begin{array}{rl}\left(\begin{array}{c}\vec{i},\vec{j},\vec{k},\vec{l}\end{array}\right)& =\left[\begin{array}{cccc}{i}_1& j_1& k_1& \Delta x\\ i_2& j_2& k_2& \Delta y\\ i_3& j_3& k_3& \Delta z\\ i_4& j_4& k_4& 1\end{array}\right]\end{array}$$

多项式

• 多元一次方程组（一次多项式）
• 多项式拓展（$w\in \mathbb{R}$）变量，几何意义类比 二维平面、三维立体 相当于**“空间维度升了一维”**，因为我们主动添加了 $维度(w)$, 即使什么都不考虑吧，那你让它等于几都可以呀，因为你甩出了魔法🪄 $0x+0y+0z+1w=\mathbb{R}$, 然后令（$w=1$）这个式子写作 $0x+0y+0z+1\times (w为1)=1$

矩阵

😓草稿，很多错误例如（多项式一元方程组） 应为 多元一次方程组—多项式
忽略 页面顶部的“行列式”，瞎写的草稿，作者本人已经 6年 没碰线性代数了, 早就忘了什么乱七八糟的概念。只是记得一些 形式化的东西和定义, 例如 等号两边加同样的东西，等号仍然成立。