上一节：【高等数学】第七章 微分方程——第三节 齐次方程
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1. 线性方程
- 方程
d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + P(x)y = Q(x) dxdy+P(x)y=Q(x)
叫做一阶线性微分方程，因为它对于未知函数 y y y及其导数是一次方程. 如果 Q ( x ) ≡ 0 Q(x) \equiv 0 Q(x)≡0，那么方程是齐次的
如果 Q ( x ) ≢ 0 Q(x) \not\equiv 0 Q(x)≡0，那么方程是非齐次的. - 解法
令 Q ( x ) = 0 Q(x)=0 Q(x)=0，写出对应的齐次线性方程
d y d x + P ( x ) y = 0 \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + P(x)y = 0 dxdy+P(x)y=0
分离变量后，两边积分得
ln ∣ y ∣ = − ∫ P ( x ) d x + C 1 \ln \vert y \vert = -\int P(x) \mathrm{d}x + C_1 ln∣y∣=−∫P(x)dx+C1
即 y = C e − ∫ P ( x ) d x y = C\mathrm{e}^{-\int P(x) \mathrm{d}x} y=Ce−∫P(x)dx
使用常数变易法，求非齐次线性方程的通解
令 u = C u=C u=C， y = u e − ∫ P ( x ) d x y = u\mathrm{e}^{-\int P(x) \mathrm{d}x} y=ue−∫P(x)dx
d y d x = u ′ e − ∫ P ( x ) d x − u P ( x ) e − ∫ P ( x ) d x \displaystyle\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = u'\mathrm{e}^{-\int P(x) \mathrm{d}x} - uP(x)\mathrm{e}^{-\int P(x) \mathrm{d}x} dxdy=u′e−∫P(x)dx−uP(x)e−∫P(x)dx
代入 d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + P(x)y = Q(x) dxdy+P(x)y=Q(x)得
u ′ e − ∫ P ( x ) d x − u P ( x ) e − ∫ P ( x ) d x + P ( x ) u e − ∫ P ( x ) d x = Q ( x ) u'\mathrm{e}^{-\int P(x) \mathrm{d}x} - uP(x)\mathrm{e}^{-\int P(x) \mathrm{d}x} + P(x)u\mathrm{e}^{-\int P(x) \mathrm{d}x} = Q(x) u′e−∫P(x)dx−uP(x)e−∫P(x)dx+P(x)ue−∫P(x)dx=Q(x)
即 u ′ = Q ( x ) e − ∫ P ( x ) d x u'=Q(x)\mathrm{e}^{-\int P(x) \mathrm{d}x} u′=Q(x)e−∫P(x)dx
u = ∫ Q ( x ) e − ∫ P ( x ) d x d x + C \displaystyle u=\int Q(x)\mathrm{e}^{-\int P(x) \mathrm{d}x} \mathrm{d}x+ C u=∫Q(x)e−∫P(x)dxdx+C
因此非齐次线性方程的通解
y = e − ∫ P ( x ) d x ( ∫ Q ( x ) e ∫ P ( x ) d x d x + C ) = C e − ∫ P ( x ) d x + e − ∫ P ( x ) d x ∫ Q ( x ) e ∫ P ( x ) d x d x \begin{aligned}y &= \mathrm{e}^{-\int P(x) \mathrm{d}x} \left( \int Q(x) \mathrm{e}^{\int P(x) \mathrm{d}x} \mathrm{d}x + C \right)\\ &= C\mathrm{e}^{-\int P(x) \mathrm{d}x} + \mathrm{e}^{-\int P(x) \mathrm{d}x} \int Q(x) \mathrm{e}^{\int P(x) \mathrm{d}x} \mathrm{d}x\end{aligned} y=e−∫P(x)dx(∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C)=Ce−∫P(x)dx+e−∫P(x)dx∫Q(x)e∫P(x)dxdx
右边是齐次线性方程的通解，左边是非齐次线性方程的一个特解
2. 伯努利方程
- 方程
d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) y n ( n ≠ 0 , 1 ) \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + P(x)y = Q(x)y^n \quad (n \neq 0,1) dxdy+P(x)y=Q(x)yn(n=0,1)
叫做伯努利(Bernoulli)方程.
当 n = 0 n = 0 n=0或 n = 1 n = 1 n=1时，这是线性微分方程.
当 n ≠ 0 n \neq 0 n=0， n ≠ 1 n \neq 1 n=1时，这方程不是线性的，但是通过变量的代换，便可把它化为线性的. - 解法
两边同除以 y n y^n yn得
y − n d y d x + P ( x ) y 1 − n = Q ( x ) . y^{-n}\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + P(x)y^{1 - n} = Q(x). y−ndxdy+P(x)y1−n=Q(x).
令 z = y 1 − n z=y^{1-n} z=y1−n， d z d x = ( 1 − n ) y − n d y d x \dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}=(1-n)y^{-n}\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} dxdz=(1−n)y−ndxdy，则可得线性方程
d z d x + ( 1 − n ) P ( x ) z = ( 1 − n ) Q ( x ) \dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x} + (1-n)P(x)z = (1-n)Q(x) dxdz+(1−n)P(x)z=(1−n)Q(x)
求得通解后，再将 z = y 1 − n z=y^{1-n} z=y1−n回代即可得伯努利方程通解
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