数学建模——最大最小化模型

1.概念

最大最小化模型（Maximin Model）是一种优化方法，旨在最大化最坏情况下的收益或最小化最坏情况下的损失。

常见的现实问题有：

求最大值的最小化问题

最大风险的最低限度

最小化最坏情况下的损失等

2.一般数学模型 

(找最大值里面最小的)

3.例题

 建立模型：

函数套用:

fminimax
fun	把目标函数定义成一个单独的函数文件（min）
x0	决策变量的初始值
A,b	线性约束不等式变量系数矩阵和常数项矩阵（左侧系数和右侧向量，支持）
Aeq,beq	线性约束等式变量系数矩阵和常数项矩阵（左侧系数和右侧向量）
lb,ub	决策变量的最小与最大取值（变量上下界）
nonlcon	非线性约束（包括不等式与等式）
option	求解非线性规划使用的方法

注意：fminimax函数与非线性规划的函数用法基本上一样，但是目标函数需要用函数向量表示如：

代码：

%最大最小值问题
x0=[6,6];
lb=[4,3];
ub=[16,11];
[x,fval]=fminimax(@minimaxFun,x0,[],[],[],[],lb,ub);
max(fval)
x

function f=minimaxFun(x)
    a=[2 5 7 9 11 12 15 18];
    b=[3 8 12 5 9 2 7 4];
    f=zeros(8,1);
    for i= 1:8
        f(i)=abs(x(1)-a(i))+abs(x(2)-b(i));
    end
end

解释一下函数代码：

1  function f = fun(x)

• 定义一个名为 fun 的函数，输入参数是 2×1 向量 x，输出是 8×1 向量 f
  x(1) 代表供应中心的横坐标，x(2) 代表纵坐标。

2      a = [ 1  4  3  5  9 12  6 20 17  8];

• 行向量 a 存放 8 个需求点的 横坐标

3      b = [ 2 10  8 18  1  4  5 10  8  9];

• 行向量 b 存放 8 个需求点的 纵坐标

4      f = zeros(10,1);

• 预分配 8×1 的零向量 f，用来存 8 个距离值。
  预分配可以提高 MATLAB 效率，也可避免动态增长数组。

5      for i = 1:10
6          f(i) = abs(x(1) - a(i)) + abs(x(2) - b(i));
7      end

• 循环 8 次，依次计算当前供应中心 (x(1), x(2)) 到第 i 个需求点的直角距离
  公式：|x − aᵢ| + |y − bᵢ|
  结果写入 f(i)。

• 该函数把 二维决策变量 (x,y) 映射到 8 个目标函数

• fminimax 会把这 8 个数中的最大值作为要最小化的“最坏情况”目标，从而完成
  min_(x,y) max_i |x−aᵢ| + |y−bᵢ|
  的求解。

• 这里其实就是完成了8个函数向量