【线性代数】线性方程组与矩阵——（1）线性方程组与矩阵初步-EW帮帮网

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1. 线性方程组

线性方程：形如 $a_1x_1+a_2x_2+\dots+a_nx_n=b$ 的方程，其中 $a_i$ 为已知系数， $x_i$ 为未知数， $b$ 是常数项。未知数（也称为元）的个数可以限定描述线性方程，比如含2个未知数的线性方程称为二元线性方程。
线性方程组：由多个线性方程组成的系统。 $n$ 元 $m$ 个方程的线性方程组可记作

$\begin{cases}\tag{1.1} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\dots+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\dots+a_{2n}x_n=b_2\\ \dots\dots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\dots+a_{mn}x_n=b_m\\ \end{cases}$
其中 $a_{ij}$ 是第 $i$ 个方程第 $j$ 个未知数的系数， $b_i$ 是第 $i$ 个方程的常数项， $i=1,2,\dots,m;j=1,2,\dots,n$ 。当常数项 $b_1,b_2,\dots,b_m$ 不全为0时，线性方程组 $(1.1)$ 称为 $n$ 元非齐次线性方程组；当 $b_1,b_2,\dots,b_m$ 全为0时，线性方程组 $(1.1)$ 称为 $n$ 元齐次线性方程组。

2. 矩阵的引入

观察线性方程组 $(1.1)$ 可以发现，未知数 $x_1,x_2,\dots,x_n$ 的取值，即线性方程组的解，由 $m\times n$ 个系数 $a_{ij}$ 以及 $m$ 个常数项 $b_i$ 所构成的 $m$ 行 $n + 1$ 列的矩形数表所决定，由此引入矩阵的概念。

2.1. 矩阵的定义

由 $m\times n$ 个数 $a_{ij}(i=1,2,\dots,m;j=1,2,\dots,n)$ 排成 $m$ 行 $n$ 列的数表称为 $m$ 行 $n$ 列矩阵，简称 $m\times n$ 矩阵，记作

$\mathbf{A}=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn}\\ \end{pmatrix}$

数 $a_{ij}$ 称为矩阵 $\mathbf{A}$ 第 $i$ 行第 $j$ 列的元素， $m\times n$ 矩阵 $\mathbf{A}$ 也记作 $\mathbf{A}_{m\times n}$ 。

2.2. 常见的矩阵

元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。

行数与列数都等于 $n$ 的矩阵称为 $n$ 阶矩阵或 $n$ 阶方阵， $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}_{n\times n}$ 也可以记作 $\mathbf{A}_n$ 。

只有一行的矩阵

$\mathbf{A}=\begin{pmatrix} a_1 & a_2 &\dots&a_n \end{pmatrix}$

称为行向量，为避免写作时元素间的混淆，行向量也记作

$\mathbf{A}=\begin{pmatrix} a_1, a_2 ,\dots,a_n \end{pmatrix}$

只有一列的矩阵

$\mathbf{A}=\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots\\ a_n \end{pmatrix}$

称为列向量。

两个矩阵的行数、列数都相等，则称它们是同型矩阵。如果两个矩阵 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 是同型矩阵，且对应元素相等，那么称两个矩阵相等，记作

$\mathbf{A}=\mathbf{B}$

元素都是0的矩阵称为零矩阵，记作 $\mathbf{O}$ ，注意不同型的零矩阵是不同的。

2.3. 线性方程组中常用的矩阵

对于非齐次线性方程组 $(1.1)$ 有如下几个有用的矩阵：

系数矩阵

$\mathbf{A}=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn}\\ \end{pmatrix}$

未知数矩阵

$\mathbf{x}=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix}$

常数项矩阵

$\mathbf{b}=\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots\\ b_m \end{pmatrix}$

增广矩阵

$\mathbf{B}=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} & b_1\\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} & b_2\\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} & b_m\\ \end{pmatrix}$

2.4. 线性变换与矩阵

将非齐次线性方程组 $(1.1)$ 中的常数项替换为变量 $y_1,y_2,\dots,y_m$ ，可以得到一个从变量 $x_1,x_2,\dots,x_n$ 到变量 $y_1,y_2,\dots,y_m$ 的线性变换

$\begin{cases}\tag{2.1} y_1=a_{11}x_1+a_{12}x_2+\dots+a_{1n}x_n\\ y_2=a_{21}x_1+a_{22}x_2+\dots+a_{2n}x_n\\ \dots\dots\\ y_m=a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\dots+a_{mn}x_n\\ \end{cases}$

线性变换与其系数矩阵存在一一对应的关系。

各个维度单独的伸缩变换

$\begin{cases} y_1=\lambda_1x_1\\ y_2=\lambda_2x_2\\ \dots\dots\\ y_n=\lambda_nx_n\\ \end{cases}$

对应 $n$ 阶方阵

$\mathbf{\Lambda}=\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \dots & 0\\ 0 & \lambda_2 & \dots & 0\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ 0 & 0 & \dots & \lambda_n\\ \end{pmatrix}$

这种方阵从左上角到右下角的的直线（即对角线）以外的元素都为0，称为对角矩阵，记作

$\mathbf{\Lambda}=\mathrm{diag}\begin{pmatrix} \lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n \end{pmatrix}$

特别地，当 $\lambda_1=\lambda_2=\dots=\lambda_n=1$ 时的线性变换称为恒等变换，对应的 $n$ 阶方阵

$\mathbf{E}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & \dots & 0\\ 0 & 1 & \dots & 0\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ 0 & 0 & \dots & 1\\ \end{pmatrix}$

称为 $n$ 阶单位矩阵。

3. 矩阵的运算

3.1. 矩阵的加法

当矩阵 $\mathrm{A}$ 和 $\mathrm{B}$ 是同型矩阵时， $\mathrm{A}+\mathrm{B}$ 规定为对应元素相加
运算律
- $\mathrm{A+B=B+A}$
- $\mathrm{(A+B)+C=A+(B+C)}$
负矩阵：矩阵所有元素取相反数
- $\mathrm{A+(-A)=O}$
- 矩阵的减法： $\mathrm{A-B=A+(-B)}$

3.2. 矩阵的数乘

数 $\lambda$ 与矩阵 $\mathrm{A}$ 的乘积规定为矩阵 $\mathrm{A}$ 的所有元素与数 $\lambda$ 相乘
运算律
- $(\lambda \mu)\mathrm{A}=\lambda(\mu\mathrm{A})$
- $(\lambda+\mu)\mathrm{A}=\lambda\mathrm{A}+\mu\mathrm{A}$
- $\lambda(\mathrm{A+B})=\lambda\mathrm{A}+\lambda\mathrm{B}$
矩阵加法与数乘运算统称为矩阵的线性运算

3.3. 矩阵的乘法

已知从 $t_1,t_2$ 到 $x_1,x_2,x_3$ 的线性变换，以及从 $x_1,x_2,x_3$ 到 $y_1,y_2$ 的线性变换：

$\begin{cases}\tag{3.3.1} y_1=a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3\\ y_2=a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3\\ \end{cases}\\$

$\begin{cases}\tag{3.3.2} x_1=b_{11}t_1+b_{12}t_2\\ x_2=b_{21}t_1+b_{22}t_2\\ x_3=b_{31}t_1+b_{32}t_2\\ \end{cases}$

将 $(3.3.2)$ 代入 $(3.3.1)$ 可以得到从 $t_1,t_2$ 到 $y_1,y_2$ 的线性变换：

$\begin{cases}\tag{3.3.3} y_1=(a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+a_{13}b_{31})t_1+(a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}+a_{13}b_{32})t_2\\ y_2=(a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}+a_{23}b_{31})t_1+(a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}+a_{23}b_{32})t_2\\ \end{cases}$

线性变换 $(3.3.3)$ 称为线性变换 $(3.3.1)$ 与线性变换 $(3.3.2)$ 的乘积，由于线性变换与其系数矩阵存在一一对应的关系，因此可以定义矩阵的乘法：

$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12}\\ b_{21} & b_{22}\\ b_{31} & b_{32}\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+a_{13}b_{31} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}+a_{13}b_{32}\\ a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}+a_{23}b_{31} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}+a_{23}b_{32}\\ \end{pmatrix}$

矩阵乘法的定义：设 $\mathrm{A}=(a_{ij})$ 是一个 $m\times s$ 矩阵， $\mathrm{B}=(b_{ij})$ 是一个 $s\times n$ 矩阵，那么 $\mathrm{A}$ 与 $\mathrm{B}$ 的乘积是一个 $m\times n$ 矩阵 $\mathrm{C}=(c_{ij})$ ，其中

$c_{ij}=\sum_{k=1}^sa_{ik}b_{kj}\\(i=1,2,\dots,m;j=1,2,\dots,n)$

并把此乘积记作 $\mathrm{C=AB}$
矩阵乘法的要求：左矩阵 $\mathrm{A}$ 的列数必须与右矩阵 $\mathrm{B}$ 的行数相等，两个矩阵才能相乘。因此矩阵乘法必须注意相乘的顺序， $\mathrm{AB}$ 是 $\mathrm{A}$ 左乘 $\mathrm{B}$ ， $\mathrm{BA}$ 是 $\mathrm{A}$ 右乘 $\mathrm{B}$ ， $\mathrm{AB}$ 有意义时， $\mathrm{BA}$ 不一定有意义。
矩阵乘法运算律
- 矩阵乘法不满足交换律：一般情形下， $\mathrm{AB}\neq\mathrm{BA}$ 。若 $\mathrm{AB=BA}$ ，则称方阵 $\mathrm{A}$ 与 $\mathrm{B}$ 是可交换的。
- 矩阵乘法不满足消除律：若 $\mathrm{AB=O}$ ，不能得出 $\mathrm{A=O}$ 或 $\mathrm{B=O}$ 。
- 矩阵乘法满足结合律
  - $\mathrm{(AB)C=A(BC)}$
  - $\lambda(\mathrm{AB})=(\lambda\mathrm{A})\mathrm{B}=\mathrm{A}(\lambda\mathrm{B})$
- 矩阵乘法满足分配律
  - $\mathrm{A}(B+C)=\mathrm{AB}+\mathrm{AC}$
  - $(B+C)\mathrm{A}=\mathrm{BA}+\mathrm{CA}$
- 单位矩阵与矩阵的乘法： $\mathrm{AE}=A=\mathrm{EA}$
矩阵的幂：设 $\mathrm{A}$ 是 $n$ 阶方阵，定义 $\mathrm{A^1=A,A^2=A^1A^1,\dots,A^n=A^{n-1}A}$ 。
矩阵幂的运算律：
- $\mathrm{A^{m+n}=A^m A^n}$
- $\mathrm{A^{mn}=(A^m)^n}$
- 一般情形下， $\mathrm{(AB)^n}\neq\mathrm{A^n B^n}$ ，只有当 $\mathrm{A}$ 与 $\mathrm{B}$ 可交换时， $\mathrm{(AB)^n=A^n B^n}$ 成立。类似的 $\mathrm{(A+B)^2= A^2+2AB+B^2,(A-B)(A+B)=A^2-B^2}$ 等公式，只有当 $\mathrm{A}$ 与 $\mathrm{B}$ 可交换时才成立。
利用矩阵乘法可以简化线性方程组和线性变换的表达。比如 $n$ 元非齐次线性方程组 $(1.1)$ 可以表示为矩阵方程 $\mathrm{A_{m\times n}x_{n\times 1}=b_{m\times 1}}$ ，线性变换 $(2.1)$ 可以表示为矩阵方程 $\mathrm{y=Ax}$ 。

3.4. 矩阵的转置

设 $\mathrm{A}=(a_{ij})$ 是一个 $m\times n$ 矩阵，将 $\mathrm{A}$ 的行与列互换，得到一个 $n\times m$ 矩阵，称为 $\mathrm{A}$ 的转置矩阵，记作 $\mathrm{A^T}=(a_{ji})$ ，其中 $a_{ji}=a_{ij}$ 。
运算律（假设运算都是可行的）
- $(\mathrm{A}^T)^T=\mathrm{A}$
- $(\mathrm{A}+\mathrm{B})^T=\mathrm{A}^T+\mathrm{B}^T$
- $(\lambda\mathrm{A})^T=\lambda\mathrm{A}^T$
- $(\mathrm{AB})^T=\mathrm{B}^T\mathrm{A}^T$
设 $\mathrm{A}$ 是 $n$ 阶方阵，如果满足 $\mathrm{A}^T=\mathrm{A}$ ，那么称 $\mathrm{A}$ 为对称矩阵。对称矩阵的元素以主对角线为轴对应相等。

3.5. 方阵的行列式

行列式的引入、性质和定理参见【线性代数】线性方程组与矩阵——行列式。
行列式的运算律
- $\mathrm{|A^T|=|A|}$
- $\mathrm{|\lambda A|=\lambda^n|A|}$
- $\mathrm{|AB|=|A||B|}$
  - $\mathrm{|A||B|=\begin{vmatrix}A&O\\-E&B\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A&AB\\-E&O\end{vmatrix}=(-1)^n\begin{vmatrix}-E&O\\ A&AB\end{vmatrix}=|AB|}$
将行列式 $|\mathrm{A}|$ 中的各个元素的代数余子式 $A_{ij}$ 构成如下的矩阵：
$\mathrm{A^*}=\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & \dots & A_{1n}\\ A_{21} & A_{22} & \dots & A_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ A_{n1} & A_{n2} & \dots & A_{nn}\\ \end{pmatrix}$
称为矩阵 $\mathrm{A}$ 的伴随矩阵。
伴随矩阵的性质： $\mathrm{AA^*=A^*A=|A|E}$ 。利用了行列式展开定理， $\sum\limits_{k=1}^n a_{ik}A_{jk}=\begin{cases}|\mathrm{A}|, &i=j\\0, &i\ne j\end{cases}$ ， $\mathrm{AA^*=A^*A}=\begin{pmatrix}\mathrm{|A|}\\ &\mathrm{|A|}\\ &&\ddots\\ &&&\mathrm{|A|}\end{pmatrix}=\mathrm{|A|E}$
伴随矩阵的运算律
- $\mathrm{(AB)^*=B^*A^*}$

3.6 逆矩阵

对于 $n$ 阶矩阵 $\mathrm{A}$ ，如果存在一个 $n$ 阶矩阵 $\mathrm{B}$ ，使得 $\mathrm{AB=BA=E}$ ，那么称矩阵 $\mathrm{A}$ 是可逆的，并把 $\mathrm{B}$ 称为 $\mathrm{A}$ 的逆矩阵，记作 $\mathrm{A}^{-1}$ 。
- 如果 $\mathrm{A}$ 是可逆的，那么 $\mathrm{A}$ 的逆矩阵是唯一的。先假设 $\mathrm{B,C}$ 都是 $\mathrm{A}$ 的逆矩阵，然后证明 $\mathrm{B,C}$ 相等。
若矩阵 $\mathrm{A}$ 是可逆的，那么 $\mathrm{|A|}\ne 0$ 。因为 $\mathrm{|A|}\mathrm{|A^{-1}|}=|\mathrm{A^{-1}A}|=|E|=1$ ，所以 $\mathrm{|A|}\ne 0$ 。
若 $\mathrm{|A|} \ne 0$ ，则矩阵 $\mathrm{A}$ 是可逆的，且 $\mathrm{A^{-1}}=\frac{1}{\mathrm{|A|}}\mathrm{A^*}$ 。如果 $\mathrm{|A|} \ne 0$ ，根据伴随矩阵的性质，可以找到符合条件的唯一的逆矩阵。
当 $\mathrm{|A|} = 0$ 时， $\mathrm{A}$ 称为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵。因此，可逆矩阵就是非奇异矩阵。
若 $\mathrm{AB=E}$ （或 $\mathrm{BA=E}$ ），则 $\mathrm{B=A^{-1}}$ 。只需逆矩阵定义的一半条件，就能推导出逆矩阵。因为 $\mathrm{AB=E}$ （或 $\mathrm{BA=E}$ ）可以得到 $\mathrm{|A||B|}=1$ ，即 $\mathrm{|A|}\ne 0$ 。
逆矩阵的运算律
- 若 $\mathrm{A}$ 可逆，则 $\mathrm{A^{-1}}$ 可逆，且 $(\mathrm{A^{-1}})^{-1}=\mathrm{A}$ 。将 $\mathrm{A}$ 与 $\mathrm{A^{-1}}$ 换位思考。
- 若 $\mathrm{A}$ 可逆，数 $\lambda\ne 0$ ，则 $\lambda\mathrm{A}$ 可逆，且 $(\lambda\mathrm{A})^{-1}=\frac{1}{\lambda}\mathrm{A^{-1}}$ 。常数不会影响可逆性。
- 若 $\mathrm{A,B}$ 为同阶矩阵且均可逆，则 $\mathrm{AB}$ 亦可逆，且 $(\mathrm{AB})^{-1}=\mathrm{B^{-1}}\mathrm{A^{-1}}$ 。 $\mathrm{|AB|}\ne 0$ 。
- 若 $\mathrm{A}$ 可逆，则 $\mathrm{A^T}$ 亦可逆，且 $(\mathrm{A^T})^{-1}=(\mathrm{A^{-1}})^T$ 。 $\mathrm{|A^T|}=\mathrm{|A|}\ne 0$ 。
- 若 $\mathrm{A}$ 可逆，则 $\mathrm{A^*}$ 亦可逆，且 $(\mathrm{A^*})^{-1}=(\mathrm{A^{-1}})^*$ 。 $\mathrm{|AA^*|=|A|^n}$
设 $\varphi(x)=a_0+a_1x+\dots+a_mx^m$ ， $\mathrm{A}$ 为 $n$ 阶矩阵，记 $\varphi(\mathrm{A})=a_0\mathrm{E}+a_1\mathrm{A}+\dots+a_m\mathrm{A}^m$ ，则 $\varphi(\mathrm{A})$ 称为矩阵 $\mathrm{A}$ 的 $m$ 次多项式。
- 矩阵 $\mathrm{A}$ 的两个多项式 $\varphi(\mathrm{A})$ 与 $f(\mathrm{A})$ 是可交换的，即 $\varphi(\mathrm{A})f(\mathrm{A})=f(\mathrm{A})\varphi(\mathrm{A})$ 。因此可以像数的多项式一样相乘和分解因式。
- 如果 $\mathrm{A=P\Lambda P^{-1}}$ ，则 $\mathrm{A^k=P\Lambda^kP^{-1}}$ ，从而 $\varphi(\mathrm{A})=\mathrm{P}\varphi(\mathrm{\Lambda})\mathrm{P}^{-1}$
- 如果 $\mathrm{\Lambda} = \mathrm{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n)$ ，则 $\mathrm{\Lambda}^k=\mathrm{diag}(\lambda_1^k,\lambda_2^k,\dots,\lambda_n^k)$ ，从而 $\varphi(\mathrm{\Lambda})=\mathrm{diag}(\varphi(\lambda_1),\varphi(\lambda_2),\dots,\varphi(\lambda_n))$ 。

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