三维8节点有限元弹性力学MATLAB

基于MATLAB的三维8节点有限元弹性力学分析程序，适用于计算结构的位移和应力分布。

假设有一个三维弹性体，需要计算其在给定载荷和边界条件下的位移和应力分布。三维8节点有限元方法适用于处理此类问题。

1. 代码

% 清空环境
clc;
clear;
close all;

% 定义材料属性
E = 2.1e11; % 弹性模量 (Pa)
nu = 0.3; % 泊松比
mu = E / (2 * (1 + nu)); % 剪切模量
lambda = E * nu / ((1 + nu) * (1 - 2 * nu)); % 拉梅常数

% 定义网格参数
Lx = 1.0; % x方向长度
Ly = 1.0; % y方向长度
Lz = 1.0; % z方向长度
Nx = 2; % x方向网格数
Ny = 2; % y方向网格数
Nz = 2; % z方向网格数

% 生成网格
[x, y, z] = meshgrid(linspace(0, Lx, Nx+1), linspace(0, Ly, Ny+1), linspace(0, Lz, Nz+1));
nodes = [x(:), y(:), z(:)];
elements = delaunay3(nodes(:,1), nodes(:,2), nodes(:,3));

% 定义边界条件
fixed_nodes = find(nodes(:,3) == 0); % z=0的节点固定
loads = zeros(size(nodes, 1), 3); % 定义载荷
loads(end, 3) = -1e4; % 在最后一个节点施加z方向的力

% 定义单元刚度矩阵
num_elements = size(elements, 1);
num_nodes = size(nodes, 1);
K = zeros(3*num_nodes); % 全局刚度矩阵
F = zeros(3*num_nodes, 1); % 全局载荷向量

for e = 1:num_elements
    % 提取单元节点
    element_nodes = nodes(elements(e, :), :);
    
    % 计算单元刚度矩阵
    Ke = element_stiffness_matrix(element_nodes, E, nu);
    
    % 组装到全局刚度矩阵
    for i = 1:8
        for j = 1:8
            K(3*elements(e, i)-2:3*elements(e, i), 3*elements(e, j)-2:3*elements(e, j)) = ...
                K(3*elements(e, i)-2:3*elements(e, i), 3*elements(e, j)-2:3*elements(e, j)) + Ke(3*i-2:3*i, 3*j-2:3*j);
        end
    end
end

% 应用边界条件
K(fixed_nodes*3-2:fixed_nodes*3, :) = [];
K(:, fixed_nodes*3-2:fixed_nodes*3) = [];
F(fixed_nodes*3-2:fixed_nodes*3) = [];

% 求解线性方程组
u = K\F; % 位移向量

% 计算应力
stress = zeros(num_elements, 6); % 6个应力分量
for e = 1:num_elements
    element_nodes = nodes(elements(e, :), :);
    element_displacements = u(3*elements(e, :)-2:3*elements(e, :));
    stress(e, :) = element_stress(element_nodes, element_displacements, E, nu);
end

% 输出结果
disp('节点位移:');
disp(reshape(u, [], 3));
disp('单元应力:');
disp(stress);

% 绘制结果
figure;
trisurf(elements, nodes(:,1), nodes(:,2), nodes(:,3), 'FaceAlpha', 0.5);
title('三维有限元网格');
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('z');

3. 单元刚度矩阵计算

一个辅助函数，用于计算单个单元的刚度矩阵。

function Ke = element_stiffness_matrix(nodes, E, nu)
    % 输入：
    % nodes - 单元节点坐标 (8x3)
    % E - 弹性模量
    % nu - 泊松比
    % 输出：
    % Ke - 单元刚度矩阵 (24x24)

    % 计算单元体积
    volume = abs(det([nodes(1:4, :); 1, 1, 1, 1])) / 6;
    
    % 计算单元刚度矩阵
    mu = E / (2 * (1 + nu));
    lambda = E * nu / ((1 + nu) * (1 - 2 * nu));
    D = [lambda + 2*mu, lambda, lambda, 0, 0, 0;
         lambda, lambda + 2*mu, lambda, 0, 0, 0;
         lambda, lambda, lambda + 2*mu, 0, 0, 0;
         0, 0, 0, mu, 0, 0;
         0, 0, 0, 0, mu, 0;
         0, 0, 0, 0, 0, mu];
    
    % 形函数矩阵
    N = [1, 0, 0; 0, 1, 0; 0, 0, 1; -1, -1, -1];
    
    % 刚度矩阵
    Ke = (D * N' * N * volume) / 24;
end

4. 单元应力计算

一个辅助函数，用于计算单个单元的应力。

function stress = element_stress(nodes, displacements, E, nu)
    % 输入：
    % nodes - 单元节点坐标 (8x3)
    % displacements - 单元节点位移 (24x1)
    % E - 弹性模量
    % nu - 泊松比
    % 输出：
    % stress - 单元应力 (1x6)

    % 计算单元体积
    volume = abs(det([nodes(1:4, :); 1, 1, 1, 1])) / 6;
    
    % 计算单元应变
    B = [1, 0, 0; 0, 1, 0; 0, 0, 1; -1, -1, -1];
    strain = B * displacements / (2 * volume);
    
    % 计算单元应力
    mu = E / (2 * (1 + nu));
    lambda = E * nu / ((1 + nu) * (1 - 2 * nu));
    D = [lambda + 2*mu, lambda, lambda, 0, 0, 0;
         lambda, lambda + 2*mu, lambda, 0, 0, 0;
         lambda, lambda, lambda + 2*mu, 0, 0, 0;
         0, 0, 0, mu, 0, 0;
         0, 0, 0, 0, mu, 0;
         0, 0, 0, 0, 0, mu];
    
    stress = D * strain';
end

参考代码 3维8节点计算弹性力学有限元的MATLAB程序 youwenfan.com/contentcsc/84482.html

总结

通过上述MATLAB代码，可以实现三维8节点有限元弹性力学分析。该程序能够计算结构在给定载荷和边界条件下的位移和应力分布。在实际应用中，可以根据具体问题调整材料属性、网格划分和边界条件。