数学建模--Ackley函数

数学表达式

$$f(x)=-a\cdot \exp \left(-b\cdot \sqrt{\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i^2}\right)-\exp \left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\cos (c\cdot x_i)\right)+a+\exp (1)$$

• $n$ 为变量维度
• 标准参数：$a=20$，$b=0.2$，$c=2\pi$
• 变量范围：$x_i\in [-32.768,32.768]$
• 全局最优解：在 $x=(0,0,...,0)$ 处，$f(x)=0$

3. 函数特性

• 多峰性：存在大量局部极小值，容易使优化算法陷入局部最优
• 高维可扩展性：可自然扩展到任意维度，适合测试高维优化问题
• 平滑性：函数曲线平滑连续，对算法精度有一定要求
• 对称性：关于原点对称

4. MATLAB代码

function f = ackley(x)
    % ACKLEY 实现Ackley测试函数
    %   f = ACKLEY(x) 计算输入向量x对应的Ackley函数值
    %   x为n维向量，函数全局最小值在x=0处，f=0
    
    % 默认参数
    a = 20;
    b = 0.2;
    c = 2 * pi;
    
    % 确保输入为列向量
    x = x(:);
    n = length(x);
    
    % 计算各项
    sum_sq = sum(x.^2);
    term1 = -a * exp(-b * sqrt(sum_sq / n));
    
    sum_cos = sum(cos(c * x));
    term2 = -exp(sum_cos / n);
    
    % 总函数值
    f = term1 + term2 + a + exp(1);
end

1. 参数设置：定义标准参数a、b、c
2. 输入处理：x = x(:)确保输入为列向量，统一数据格式
3. 分量计算：
   • 计算平方和sum_sq，用于第一个指数项
   • 计算余弦和sum_cos，用于第二个指数项
4. 函数值合成：组合各项计算最终函数值

6. 可视化方法

% 生成数据
x = -32.768:1:32.768;
y = x;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% 计算函数值
F = arrayfun(@(i,j) ackley([i;j]), X, Y);

% 绘制三维表面图
figure;
surf(X, Y, F);
title('Ackley函数三维表面图');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('f(x)');
shading interp; 
colorbar;

7. 应用场景

• 优化算法性能测试与比较
• 算法参数调优
• 验证算法处理多峰、高维问题的能力
• 评估算法跳出局部最优的能力
  适合于测试
  遗传算法
  粒子群优化(PSO)
  模拟退火算法
  差分进化算法
  蚁群优化算法

注

• 函数对初始点选择敏感，易陷入局部最优
• 高维情况下优化难度显著增加
• 可通过调整维度测试算法的扩展性
• 结果可与理论最优值(0)直接比较，评估算法精度