3.1 元素输入法
元素输入法是最简单，也是最常用的一种矩阵的生成方法。例如：
注意：
- 整个矩阵必须用“[]”括起来；
- 元素之间必须用逗号“，”或空格分开；
- 矩阵的行与行之间必须用“；”或者回车键“Enter”隔开；
- 元素按照先列后行的方式进行存储。
3.2 设定步长生成法
设定步长生成法用于生成一维行数组。
格式：x=a：inc：b
其中a是数组的第一个元素；inc是相邻两个元素之间的间隔；b是数组的最后一个元素。
例如：x=1：3：25
说明：
（1）若b-a是inc的整数倍，则最后一个元素是b；否则小于b。
（2）若inc=1，可简写为x=a：b。
（3）inc可以取整数，也可以取复数。
遇到的警告 "Colon operands must be real scalars" 是因为在 MATLAB 中使用冒号运算符 : 时，中间的步长值使用了复数 3i。
冒号运算符的正确语法是 start:step:end，其中 start、step 和 end 都必须是实数标量，而不能是复数。
在例子中，虽然写了 1:3i+6:25，但 MATLAB 实际上忽略了复数部分的虚部，只使用了实部进行计算：
- 起始值：1
- 步长值：6（因为
3i的实部是 0，0+6=6） - 结束值：25
所以最终结果 A = [1 7 13 19 25] 实际上是按照 1:6:25 计算得到的，这就是为什么虽然有警告但仍然得到了结果。
如果你确实需要生成包含复数的数组，可以使用其他方法，例如：
3.3 均匀采样生成法
均匀采样生成法用于生成一维行数组。
格式：x=linspace（a，b，n）
其中，a，b分别为生成数组的第一个和最后一个元素；n为采样总点数。
例如：x=linspace（1，25，3）
从定义可以看出，该指令的作用与x=a：（b-a）/（n-1）：b相同。
3.4 几种特殊矩阵的创建
特殊矩阵的创建命令如下表：
命令 |
说明 |
[] |
空矩阵 |
zeros |
全零矩阵 |
ones |
全一矩阵 |
eye |
单位矩阵 |
magic |
魔方矩阵 |
rand |
均匀随机矩阵 |
randn |
高斯随机矩阵 |
diag |
对角矩阵 |
（1）空矩阵
A=[] %用于删除某个元素或者矩阵。
例：把矩阵A的第一个元素删除。
如下：
（2）全零矩阵
A=zeros（2，3） %生成元素全为零的2×3阶矩阵。
（3）全一矩阵
A=ones（2，3） %生成元素全为1的2×3阶矩阵。
（4）单位矩阵
A=eye（3，4） %使用eye（m，n）可得到一个允许的最大单位矩阵，其他位置补零。
（5）魔方矩阵
X=magic（3） %用于产生一个3×3阶的魔方矩阵。
魔方矩阵（Magic Square）是一种特殊的n 阶方阵，其核心特征是每行、每列以及两条主对角线的元素之和都相等，这个相等的和被称为 “魔数”（Magic Constant）。
魔方矩阵在数学、数论、组合数学以及趣味数学中都有重要地位，且具有深厚的历史背景，古代文明（如中国、印度、阿拉伯等）都曾研究过这类矩阵。
魔方矩阵的核心性质
- 阶数定义：通常以 “n 阶” 表示，指矩阵的行数和列数均为 n（n≥1，且多为正整数）。
- 魔数计算：对于 n 阶魔方矩阵（元素为 1 到 n² 的连续整数，即 “标准魔方矩阵”），其魔数固定为：
魔数 = n×(n² + 1)÷2
例如：- 3 阶魔方矩阵的魔数为 3×(9 + 1)÷2 = 15；
- 4 阶魔方矩阵的魔数为 4×(16 + 1)÷2 = 34。
- 元素特点：标准魔方矩阵的元素是 1 到 n² 的连续整数，且每个数只出现一次（即 “幻方” 的经典定义）；非标准魔方矩阵可以使用其他数字，但需满足行、列、对角线和相等的条件。
常见阶数的魔方矩阵示例
3 阶魔方矩阵（最经典）
3 阶魔方矩阵是最小的奇数阶非平凡魔方矩阵，其元素为 1-9，每行、每列、对角线之和均为 15：
- 行：8+1+6=15，3+5+7=15，4+9+2=15；
- 列：8+3+4=15，1+5+9=15，6+7+2=15；
- 对角线：8+5+2=15，6+5+4=15。
4 阶魔方矩阵（偶数阶）
4 阶魔方矩阵元素为 1-16，魔数为 34，例如：
魔方矩阵的分类
根据阶数的奇偶性，魔方矩阵可分为两类：
奇数阶魔方矩阵（n 为奇数）：
可通过 “Siamese 方法”（斜步法）构造，核心是从矩阵底部中间位置开始，按特定方向（通常是右上）依次填入数字，遇到边界或已填元素时调整位置。
偶数阶魔方矩阵：
当 n 为4 的倍数（如 4、8 阶）：可通过 “对称交换法” 构造，将矩阵分为 4×4 子块，交换特定位置的元素。
当 n 为2 的倍数但不是 4 的倍数（如 6、10 阶）：构造更复杂，需结合奇数阶的构造方法分段处理（称为 “单偶数阶”）。
魔方矩阵的应用与意义
- 数学研究：作为组合数学的经典问题，其构造方法涉及数论和对称性分析。
- 历史文化：古代被视为神秘符号，如中国的 “洛书”（3 阶魔方矩阵）被认为是最早的魔方矩阵之一，记载于《周易》等典籍中。
- 计算机科学：常用于算法设计（如矩阵填充、回溯法练习）和密码学中的随机数生成参考。
（6）随机矩阵
1. rand（）均匀随机矩阵用于生成（0，1）区间上均匀分布的随机变量，其基本语法如下：
rand（[M，N，P，...] ）
例：
A=rand（2，4） %生成随机的2×4阶矩阵
生成排列成M×N×P...多维向量的随机数。如果只写M，则生成M×M阶矩阵；如果参数为[M,N],则可以省略到方括号。
2. randn（）高斯随机矩阵用于生成服从标准正态分布（均值为0，方差为1）的随机数，其基本语法和rand（）类似：
randn（[M,N,P...]）
生成排列成M×N×P...多维向量的随机数。如果只写M，则生成M×M阶矩阵；如果参数为[M,N],可以省略掉方括号。
3. rand() 与 randn() 的核心对比
维度 |
rand() |
randn() |
分布类型 |
(0, 1) 区间均匀分布 |
标准正态分布（均值 0，方差 1） |
语法共性 |
维度参数规则、括号省略逻辑完全一致 |
维度参数规则、括号省略逻辑完全一致 |
应用场景差异 |
需“无偏向随机数”场景（如等概率模拟、均匀初始化） |
需“自然波动规律”场景（如噪声模拟、正态分布物理量建模） |
4. 理解“生成排列成多维向量的随机数”，需结合 Matlab 中数组的维度特性、函数参数规则来拆解，核心逻辑如下：
1. “多维向量”实为 多维数组
在 Matlab 语境中，此处“向量”是广义的数组概念（突破数学中“一维向量”的狭义定义）。Matlab 支持创建任意维度的数组（如二维矩阵、三维“行-列-页”结构、四维及以上张量），因此“多维向量”本质是多维数组。
2. M，N，P...的作用：定义各维度的长度
rand()/randn() 的参数 是维度尺寸参数，每个字母对应一个维度的“长度”：
- 第 1 个参数 → 数组第 1 维的长度（如“行数”）；
- 第 2 个参数 → 数组第 2 维的长度（如“列数”）；
- 第 3 个参数 → 数组第 3 维的长度（如“页数/层数”）；
- 更多参数 → 对应更高维度的长度。
3. “排列成M×N×P... ”：按维度参数构造数组结构
函数会先根据M，N，P...的数量和数值，确定数组的维度数量和各维度大小，再在这个预定义结构中填充随机数。结合场景具象化理解：
（1）二维数组（矩阵）场景
若输入 2 个参数 M，N（如 rand(2, 4)）：
- 维度数量：2 维（行、列）；
- 各维长度：第 1 维（行）长度 = M=2，第 2 维（列）长度 = N=4；
- 结果：生成 2 行 4 列的二维数组（矩阵），每个元素是 rand() 生成的 (0,1) 均匀随机数，或 randn() 生成的标准正态分布数。
（2）三维数组场景
若输入 3 个参数M，N，P（如 rand(2, 3, 2)）：
- 维度数量：3 维（行、列、页）；
- 各维长度：第 1 维（行）=M=1 ，第 2 维（列）=N=3 ，第 3 维（页）=P=2 ；
- 结果：生成 “2 行 × 3 列 × 2 页” 的三维数组。可想象为“2 个独立的 2 行 3 列矩阵叠在一起”，每个位置填充随机数。
（3）更高维数组场景
若输入 4 个参数M，N，P，Q（如 rand(1, 2, 3, 4)）：
- 维度数量：4 维；
- 各维长度：第 1 维 = M=1，第 2 维 =N=2 ，第 3 维 = P=3，第 4 维 = Q=4；
- 结果：生成 1×2×3×4 的四维数组，结构由 4 个维度长度共同定义，每个元素位置填充随机数。
5. 在 Matlab 中，“扩展数组到更高维度”可通过生成新的高维数组或改造已有数组维度实现。结合rand()/randn() 的语法逻辑，以下是详细方法拆解：
对已有数组扩展维度（非随机数组的维度改造）
若要对已存在的非随机数组（如数值矩阵、向量）扩展维度，可通过以下通用方法：
1. 使用 cat() 函数“沿维度拼接”
cat(DIM, A, B, ...) 可沿指定维度 DIM 拼接多个数组，实现维度扩展。
示例：将两个 2×3 矩阵沿第 3 维拼接，得到 2×3×2 三维数组：
A = ones(2, 3); % 2×3 全1矩阵
B = zeros(2, 3); % 2×3 全0矩阵
C = cat(3, A, B);% 沿第3维拼接，生成 2×3×2 三维数组
2. 使用 reshape() 函数“重塑维度”
reshape(A, M, N, P, ...) 可将数组 A 重塑为指定维度的新数组（要求元素总数匹配）。
示例：将 1×6 行向量重塑为 2×3 矩阵（二维），或 1×2×3 三维数组：
V = 1:6; % 1×6 行向量（元素总数6）
M2 = reshape(V, 2, 3); % 重塑为 2×3 矩阵（2×3=6，元素总数匹配）
M3 = reshape(V, 1, 2, 3); % 重塑为 1×2×3 三维数组（1×2×3=6，元素总数匹配）
3. 直接赋值“扩展维度”
对数组的新维度位置直接赋值，Matlab 会自动扩展维度并填充默认值（如 NaN 或 0，依场景而定）。
示例：将 2×3 矩阵扩展为 2×3×2 三维数组：
A = ones(2, 3); % 2×3 矩阵
A(:, :, 2) = 2; % 给第3维的第2层赋值，自动扩展维度为 2×3×2
4. 扩展数组维度的核心路径
场景 |
核心方法 |
示例（代码片段） |
生成随机高维数组 |
用 rand()/randn() 的多维度参数 [M, N, P, …] 定义维度大小 |
rand(2, 3, 2) 生成 2×3×2 均匀随机三维数组 |
扩展已有数组维度 |
① cat() 沿指定维度拼接；② reshape() 重塑维度；③ 直接赋值新维度位置 |
cat(3, A, B) 沿第3维拼接数组；reshape(V, 1, 2, 3) 重塑维度 |
通过上述方法，可以灵活地在 Matlab 中创建或改造数组维度，覆盖从二维矩阵到高维张量的多样化需求。
（7）对角矩阵
（1）diag（x），当输入x为向量的时候，输出结果为对角矩阵。
当输入x是一个向量（可以是行向量或列向量）时，diag(x)的输出是一个对角矩阵：
- 矩阵的主对角线（从左上角到右下角的对角线）元素为向量x的各个分量；
- 矩阵的其他位置元素均为0；
- 矩阵的阶数（行数和列数）等于向量x的长度。
示例：
若x = [a, b, c]（长度为3的行向量），则：
具体数值例子：设x = [1, 2, 3]，则：
（2）diag（x，k），形成以x作为第k条对角线元素，其他位置为0的矩阵。
当输入x是向量，且额外指定参数k时，diag(x, k)的输出是一个非主对角线矩阵：
- 矩阵的第k条对角线元素为向量x的各个分量；
- 其他位置元素均为0；
- k的含义：k=0表示主对角线，k>0表示主对角线上方第k条对角线，k<0表示主对角线下方第|k|条对角线；
- 矩阵的阶数：若x长度为n，则矩阵阶数为n + |k|（确保x的所有元素能放在第k条对角线上）。
示例：
设x = [1, 2]（长度为2），k=1（主对角线上方第1条对角线），则矩阵阶数为2 + 1 = 3，输出为：
- 若k=-1（主对角线下方第1条对角线），输出为：
（3）当输入x为矩阵的时候，输出结果为提取该矩阵对角线元素形成的列向量。
当输入x是一个矩阵时，diag(x)的输出是一个列向量：
向量的元素为矩阵x的主对角线元素（从左上角到右下角依次提取）；
向量长度等于矩阵x的阶数（若x是n×n矩阵，则向量长度为n）。
示例：
设x是3×3矩阵：
其主对角线元素为1, 5, 9，则：
