阵列信号处理之均匀面阵波束合成方向图的绘制与特点解读
前言
\;\;\;\;\; 均匀面阵（Uniform Planar Array，UPA）因其结构规则、波束可控性强而在雷达与通信中得到广泛应用。方向图是分析天线阵列性能的重要工具，它直接反映了主瓣宽度、副瓣电平及波束指向特性。本文基于MATLAB给出均匀面阵方向图的绘制方法，并通过二维方向图与一维切片对比，直观展示阵元规模、阵元间距对主瓣宽度、副瓣电平的影响，为相控阵设计与阵列优化提供参考。
提示：以下是本篇文章正文内容，未经博主同意，不可转载，侵权必究！
一、方向图函数
\;\;\;\;\; 考虑如下阵列模型
\;\;\;\;\; 单个远场信号入射时，相对于参考阵元的相差为
ϕ m × n ( θ , φ ) = 2 π λ ( m d x s i n θ c o s φ + n d y s i n θ s i n φ ) \phi_{m\times n}(\theta,\varphi)=\frac{2\pi}{\lambda}(md_x\mathrm{sin}\theta\mathrm{cos}\varphi+nd_y\mathrm{sin}\theta\mathrm{sin}\varphi) ϕm×n(θ,φ)=λ2π(mdxsinθcosφ+ndysinθsinφ) \;\;\;\;\; 单个远场信号入射的方向矢量为
a ( θ , φ ) = [ 1 e − j ϕ 0 × 1 e − j ϕ 0 × 2 . . . e − j ϕ 0 × ( N − 1 ) . . . e − j ϕ ( M − 1 ) × ( N − 1 ) ] T ∈ C ( M N ) × 1 \boldsymbol{a}(\theta,\varphi)= \begin{bmatrix} 1 & \mathrm{e}^{-\mathrm{j}\phi_{0\times1}} & \mathrm{e}^{-\mathrm{j}\phi_{0\times2}} & ... & \mathrm{e}^{-\mathrm{j}\phi_{0\times(N-1)}} & ... & \mathrm{e}^{-\mathrm{j}\phi_{(M-1)\times(N-1)}} \end{bmatrix}^{\mathrm{T}}\in\mathbb{C}^{(MN)\times1} a(θ,φ)=[1e−jϕ0×1e−jϕ0×2...e−jϕ0×(N−1)...e−jϕ(M−1)×(N−1)]T∈C(MN)×1 \;\;\;\;\; 若波束指向为 ( θ 0 , φ 0 ) (\theta_0,\varphi_0) (θ0,φ0)，则权矢量为
w = a ( θ 0 , φ 0 ) \boldsymbol{w}=\boldsymbol{a}(\theta_0,\varphi_0) w=a(θ0,φ0) 方向图函数为
B ( θ , φ ) = w H ∗ a ( θ , φ ) B(\theta,\varphi)=\boldsymbol{w}^\mathrm{H}*\boldsymbol{a}(\theta,\varphi) B(θ,φ)=wH∗a(θ,φ)
二、方向图绘制
\;\;\;\;\; 下面是8×8，间距为半波长均匀面阵在球坐标系和直角坐标系下的方向图，波束指向为 ( 45 ° , 30 ° ) (45°,30°) (45°,30°)。
三、副瓣电平
\;\;\;\;\; 观察副瓣电平时，将坐标系改为UV 坐标（方向余弦）。即
u = sin θ cos ϕ v = sin θ sin ϕ \begin{aligned} u & =\sin\theta\cos\phi \\ v & =\sin\theta\sin\phi \end{aligned} uv=sinθcosϕ=sinθsinϕ 显然有
u 2 + v 2 = sin 2 θ ≤ 1 u^2+v^2=\sin^2\theta\leq1 u2+v2=sin2θ≤1 下面是8×8，间距为半波长均匀面阵在UV坐标系下的方向图。
\;\;\;\;\; 为了验证副瓣电平固定在-13dB附近，下面又绘制了8×16和16×8规模下的方向图。
\;\;\;\;\; 从以上仿真结果可以看出，随着阵元数增多，主瓣宽度逐渐收窄，波束分辨力提升；同时副瓣数量增多，分布更密集；副瓣电平理论上保持在约–13.26 dB，因此副瓣高度基本不变，固定在-13dB附近。总体而言，更多的阵元意味着更窄的主瓣、更高的方向性，但副瓣电平无法降低，需要借助加权实现副瓣抑制。
四、阵元个数对主瓣宽度的影响
\;\;\;\;\; 下面两图是 N N N固定为16时，不同 M M M下的方向图。
\;\;\;\;\; 从图中可以看出，增大x轴方向的阵元个数对俯仰维的主瓣宽度影响更明显一些，阵元个数越大，主瓣宽度越窄。
\;\;\;\;\; 下面两图是 M M M固定为16时，不同 N N N下的方向图。
\;\;\;\;\; 从图中可以看出，增大y轴方向的阵元个数对方位维的主瓣宽度影响更明显一些，同样有阵元个数越大，主瓣宽度越窄。
五、阵元间距对主瓣宽度的影响
\;\;\;\;\; 下面两图是阵元规模为16×16时，不同阵元间距下的方向图。
\;\;\;\;\; 从图中可以看出，增大阵元间距对两个维度的主瓣宽度影响都明显。阵元间距越大，主瓣宽度越窄，波束指向性更好。
六、MATLAB源代码
绘制均匀面阵波束合成方向图与特点解读的超详细MATLAB代码
总结
\;\;\;\;\; 从以上仿真可以得出，随着阵元数增多，主瓣宽度逐渐变窄，波束分辨力提升；同时副瓣数量增多，分布更密集，但副瓣电平维持在约–13dB左右；随着阵元间距数增加，主瓣宽度也逐渐变窄，波束分辨力也在提升。