【数学】线性代数知识点总结-EW帮帮网

0.前言

线性代数是数学的一个分支，线性代数的研究对象是向量、向量空间（又称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。即线性代数主要处理线性关系问题，线性关系即数学对象之间的关系是以一次形式来表达的。
线性（Linear）是指量与量之间按比例、成直线的关系，在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数。

根据同济大学数学系编著的《线性代数》教材，将知识点按行列式、矩阵、向量组的线性相关性、相似矩阵及二次型、线性空间与线性变换五部分进行归纳总结。

1.行列式

1.1 定义

矩阵的行列式，determinate（简称det），是基于该矩阵的行列数据所计算的一个标量，n阶行列式的几何意义是以n个向量为邻边的n维图形的体积。
百度百科给出定义

注意：行列式的行数=列数，行列式引入求解线性方程组（后面将提到）

1.2 性质

性质1：行列互换，其值不变
即行列式与它的转置行列式的值相等， $A|=|A^T|$
性质2：行列式某行（列）的元素全为0，行列式的值为0。
几何上可以理解为该n阶行列式的值等于n维图形的体积，现在有一个维度（向量）长度为0，则该图形这个维度上体积为0。
放在定义式中，累加的每一项都是0，因为累加的每一项是取自不同行不同列的n个元素乘积。
性质3：行列式的某两行（列）元素相等或对应成比例，则行列式为零
几何上理解为组成n维图形的n个向量中，有两向量（边）在同一直线上，故在该图形这个维度上体积为0。
在定义式中，成比例的项可以提出公因式，提出公因式后奇排列和偶排列的项会一一抵消（可以列一个简单的3阶行列式进行感受）
性质4：某行（列）所有的元素都是两个数的和，则可将其拆成两个行列式之和
如： $\left|\begin {array}{c} a_1+b_1 &a_2+b_2 &a_3+b_3 \\ c_1 &c_2 &c_3 \\ d_1 &d_2 &d_3 \\ \end{array}\right|=\left|\begin{array}{c} a_1 &a_2 &a_3 \\ c_1 &c_2 &c_3 \\ d_1 &d_2 &d_3\\ \end{array}\right|+\left|\begin{array}{c} b_1 &b_2 &b_3 \\ c_1 &c_2 &c_3 \\ d_1 &d_2 &d_3\\ \end{array}\right|$
理解这件事情需要从定义式入手

定义式是多项的累加，而每项都包含不同行列的元素之积，这里的可拆其实就是定义式中进行乘法分配律。
注意：行列式拆是只拆某行（列），而矩阵A+B相加指的是所有元素相加。
性质5：两行（列）互换，行列式的值反号
反号是因为奇偶排列发生了改变，要理解这一点从定义中行列式的定义式入手， $j_1j_2...j_n$ 是排列，当为偶排列时带正号，为奇排列时带负号，行列式行（列）互换，奇偶排列改变，行列式的值反号。
性质6：某行（列）元素有公因子 $k（k≠0）k（k\neq0）$ ，则 $k$ 可提到行列式外面
要理解性质6需要和性质5一样从行列式的定义式入手，某行（列）的元素都有公因子，代表定义式中累加的每一项都有公因子，那么相当于将每一项的这个公因子k提取到外面。
注意：行列式只是某行（列）公因子提到外面，而矩阵是每一个元素的公因子提到外面。
性质7：某行（列）的k倍加到另一行（列），行列式的值不变
从定义式入手，结合定理4，可以将其“乘法分配律”，之后拆成原来的行列式与被加那行（列）替换为k倍加的那行的行列式相加，再根据性质3的理解，知道被加那行（列）替换为k倍加的那行的行列式为0。

1.3 行列式展开定理（公式）

1.3.1 余子式与代数余子式

定义：在n阶行列式中，划去元素 $a_{ij}$ 所在的 $i$ 行与 $j$ 列的元，剩下的元不改变原来的顺序所构成的n-1阶行列式称为元素 $a_{ij}$ 的余子式。数学表示上记作 $M_{ij}$
如： $∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣\left|\begin{array}{c} a_{11} &a_{12} &a_{13} \\ a_{21} &a_{22} &a_{23} \\ a_{31} &a_{32} &a_{33}\\ \end{array}\right|$ 中， $a_{22}$ 的余子式 $M22=∣a11a13a31a33∣M_{22}=\left|\begin{array}{c} a_{11} &a_{13} \\ a_{31} &a_{33} \\ \end{array}\right|$
而根据 $M_{ij}$ 定义代数余子式 $A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$
则在上面行列式中 $A22=(−1)2+2M22=∣a11a13a31a33∣A_{22}=(-1)^{2+2}M_{22}=\left|\begin{array}{c} a_{11} &a_{13} \\ a_{31} &a_{33} \\ \end{array}\right|$
引理：一个n阶行列式，如果其中第 $i$ 行所有元素除 $(i, j)$ 元 $a_{ij}$ 外都为零，那么这行列式等于 $a_{ij}$ 与它的代数余子式的乘积，即 $D=a_{ij}A_{ij}$
这一引理可以根据行列式的计算式推导（将i行和j列包含的含0项全部划掉，仅剩含 $a_{ij}$ 的项，提出 $a_{ij}$ 后剩下的为代数余子式）。

1.3.2 行列式按行（列）展开法则

定义：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 $D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+...+a_{in}A_{in}\ \ \ (i=1,2,...,n)$ 或 $D=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+...+a_{nj}A_{nj}\ \ \ (j=1,2,...,n)$
这个法则可以根据引理与性质4或行列式计算式推导得到。
推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 $(i≠j)a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+...+a_{in}A_{jn} =0\ \ \ (i\neq j)$ 或 $(i≠j)a_{1i}A_{1j}+a_{2i}A_{2j}+...+a_{ni}A_{nj}=0\ \ \ (i\neq j)$
推论的证明根据性质3：行列式的某两行（列）元素相等或对应成比例，则行列式为零。

2.矩阵

2.1 定义

由 $m×nm\times n$ 个数 $a_{ij}(i=1,2,...,m;\ \ j=1,2,...,n)$ 排成的 $m$ 行 $n$ 列的数表 $⋮am1am2⋯amn\begin{array}{c} a_{11} &a_{12} &\cdots &a_{1n} \\ a_{21} &a_{22} &\cdots &a_{2n} \\ \vdots &\vdots &\ &\vdots \\ a_{m1} &a_{m2} &\cdots &a_{mn}\\ \end{array}$ 称为m行n列矩阵，简称 $m×nm\times n$ 矩阵，记作 $⋮am1am2⋯amn)A=\left(\begin{array}{c} a_{11} &a_{12} &\cdots &a_{1n} \\ a_{21} &a_{22} &\cdots &a_{2n} \\ \vdots &\vdots &\ &\vdots \\ a_{m1} &a_{m2} &\cdots &a_{mn}\\ \end{array}\right)$ 简记为 $A=Am×n=(aij)m×n=(aij)A=A_{m\times n}=(a_{ij})_{m\times n}=(a_{ij})$ 。
这 $m×nm\times n$ 个数称为矩阵A的元素，简称为元。元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。
行数和列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵。

2.1.1 矩阵与行列式概念区分

矩阵与行列式对比

2.1.2 矩阵与线性变换

线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系

由于矩阵和线性变换之间存在一一对应的关系，因此可以利用矩阵来研究线性变换，也可以利用线性变换来解释矩阵的含义。

2.2 矩阵的运算

2.2.1 矩阵的加法

定义：设由两个 $m×nm\times n$ 矩阵 $A=(a_{ij})$ 和 $B=(b_{ij})$ ，那么矩阵A与B的和记作A+B，规定为 $⋮am1+bm1am2+bm2⋯amn+bmn)A+B=\left(\begin{array}{c} a_{11}+b_{11} &a_{12}+b_{12} &\cdots &a_{1n}+b_{1n} \\ a_{21}+b_{21} &a_{22}+b_{22} &\cdots &a_{2n}+b_{2n} \\ \vdots &\vdots &\ &\vdots \\ a_{m1}+b_{m1} &a_{m2}+b_{m2} &\cdots &a_{mn}+b_{mn} \\ \end{array}\right)$
注意：只有两个矩阵同型时（行数等于行数、列数等于列数），这两个矩阵才能进行加法运算。
行列式加法是某行或某列加，矩阵是同型矩阵对应元素一一相加
矩阵加法的运算规律
1. 交换律： $A + B = B + A$
2. 结合律： $(A + B) + C = A + (B + C)$
3. 矩阵减法相当于： $A - B = A + (- B)$
  其中 $- B$ 称为B的负矩阵，有： $B + (- B) = O$

2.2.2 数与矩阵相乘

定义：数 $λ\lambda$ 与矩阵 $A$ 的乘积记作 $λA\lambda A$ 或 $AλA\lambda$ ，规定为 $⋮λam1λam2⋯λamn)\lambda A=A\lambda=\left(\begin{array}{c} \lambda a_{11} &\lambda a_{12} &\cdots &\lambda a_{1n} \\ \lambda a_{21} &\lambda a_{22} &\cdots &\lambda a_{2n} \\ \vdots &\vdots &\ &\vdots \\ \lambda a_{m1} &\lambda a_{m2} &\cdots &\lambda a_{mn} \\ \end{array}\right)$
行列式数乘是乘某行（列），矩阵数乘是乘每个元素
矩阵数乘的运算规律
1. 结合律： $(λμ)A=λ(μA)(\lambda \mu)A=\lambda (\mu A)$
2. 分配律： $(λ+μ)A=λA+μA(\lambda +\mu)A=\lambda A+\mu A$ ， $λ(A+B)=λA+λB\lambda(A+B)=\lambda A+\lambda B$

2.2.3 矩阵与矩阵相乘

定义：设 $A=(a_{ij})$ 是一个 $m×sm\times s$ 矩阵， $B=(b_{ij})$ 是一个 $s×ns\times n$ 矩阵，那么规定矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ 的乘积是一个 $m×nm\times n$ 矩阵 $C=(c_{ij})$ ，其中 $,n)c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots +a_{is}b_{sj}=\sum^s_{k=1}a_{ik}b_{kj} \\(i=1,2,\cdots,m;\ j=1,2,\cdots,n)$ 并把此乘积记作 $C = A B$

显然，只有左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘
矩阵乘法的运算规律
1. 结合律： $(A B) C = A (BC)$
2. 数乘的结合律： $λ(AB)=(λA)B=A(λB)\lambda (AB)=(\lambda A)B=A(\lambda B)$
3. 分配律： $A (B + C) = A B + A B ， (B + C) A = B A + C A$
4. 单位矩阵再矩阵乘法中作用类似于数字1： $EmAm×n=Am×nEn=AE_mA_{m\times n}=A_{m\times n}E_n=A$
  推论：矩阵乘法不一定满足交换律，但是纯量阵 $λE\lambda E$ 与任何同阶方阵都是可交换的，即： $(λEn)An=λAn=An(λEn)(\lambda E_n)A_n=\lambda A_n=A_n(\lambda E_n)$

2.2.4 矩阵的幂运算

定义：设 $A$ 是n阶方阵，定义 $A1=A，A2=A1A1，…，Ak+1=AkA1，A^1=A，A^2=A^1A^1，\dots，A^{k+1}=A^kA^1，$
其中 $k$ 为正整数，显然只有方阵的幂才有意义
矩阵的幂满足的运算规律
1. $A^kA^l=A^{k+l}$
2. $A^k)^l=A^{kl}$

2.2.5 矩阵的转置

定义：把矩阵 $A$ 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做 $A$ 的转置矩阵，记作 $A^T$
注意：若 $A=A^T$ ，则将A称为对称阵；若 $A=-A^T$ ，则将A称为反对称阵。
转置矩阵的运算性质
1. $A^T)^T=A$
2. $A+B)^T=A^T+B^T$
3. $(λA)T=λAT(\lambda A)^T=\lambda A^T$
4. $AB)^T=B^TA^T$ （穿脱原则）

2.2.6 方阵的行列式

定义：由 $n$ 阶方阵 $A$ 的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵 $A$ 的行列式，记作 $d e t A$ 或 $∣ A ∣$ 。
注意：方阵与行列式是两个不同概念， $n$ 阶方阵是 $n^2$ 个数按一定方式排列成的数表，而 $n$ 阶行列式则是这个数表的数按一定的运算法则所确定的一个数。
由 $A$ 确定的 $∣ A ∣$ 满足的运算规律
1. $A^T|=|A|$ （行列式性质1）
2. $∣λA∣=λn∣A∣|\lambda A|= \lambda^n|A|$
3. $∣ A B ∣ = ∣ A ∣∣ B ∣$

2.2.7 伴随矩阵

定义：行列式 $∣ A ∣$ 的各个元素的代数余子式 $A_{ij}|$ 所构成的如下的矩阵 $A∗=∣A11A21⋯An1A12A22⋯An2⋯⋯⋯⋯A1nA2n⋯Ann∣A^*=\left|\begin {array}{c} A_{11} &A_{21} &\cdots &A_{n1} \\ A_{12} &A_{22} &\cdots &A_{n2} \\ \cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\ A_{1n} &A_{2n} &\cdots &A_{nn} \\ \end{array}\right|$ 称为矩阵A的伴随矩阵。
伴随矩阵满足的性质：
$AA^*=A^*A=|A|E$

2.3 逆矩阵

2.3.1 定义

对于n阶矩阵 $A$ ，如果有一个n阶矩阵 $B$ ，使 $A B = B A = E ，$ 则说矩阵 $A$ 是可逆的，并把矩阵 $B$ 称为 $A$ 的逆矩阵，简称逆阵。
若矩阵 $A$ 是可逆的，那么 $A$ 的逆矩阵是唯一的。
$A$ 的逆矩阵记作 $A^{-1}$ ，即若 $AB=BA=E，则B=A^{-1}$ 。

2.3.2 相关定理

若矩阵 $A$ 可逆，则 $∣A∣≠0|A|\neq 0$
若 $∣A∣≠0|A|\neq 0$ ，则矩阵 $A$ 可逆，且 $A−1=1∣A∣A∗A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*$
由定理1和2可知， $A$ 是可逆矩阵的充分必要条件是 $∣A∣≠0|A|\neq 0$ ，即可逆矩阵就是非奇异矩阵。

推论：

若 $AB=E（或BA=E）,则B=A^{-1}$
如果 $A 、 B$ 为同阶矩阵且均可逆，则 $A−1、AT、λA(λ≠0)与ABA^{-1}、A^T、\lambda A(\lambda \neq 0)与AB$ 也可逆，且 $(A−1)−1=A(AT)−1=(A−1)T(λA)−1=1λA−1(AB)−1=B−1A−1(A^{-1})^{-1}=A\\ (A^T)^{-1}=(A^{-1})^T\\ (\lambda A)^{-1}=\frac{1}{\lambda}A^{-1}\\ (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$

2.4 矩阵的初等变换与线性方程组

2.4.1 矩阵的初等变换

定义：下面三种变换称为矩阵的初等行变换：
1. 对换两行（对换 $i ， j$ 两行，记作 $ri↔rjr_i \leftrightarrow r_j$ ）；
2. 以数 $\neq 0$ 乘某一行中的所有元（第 $i$ 行乘 $k$ ，记作 $ri×kr_i \times k$ ）；
3. 把某一行所有元的 $k$ 倍加到另一行对应的元上去（第 $j$ 行的 $k$ 倍加到第 $i$ 行上，记作 $r_i+kr_j$ ）.

把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义（所用记号是把“r”换成“c”）
矩阵的初等行变换与初等列变换，统称初等变换。

显然，三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换：
1. $ri↔rjr_i \leftrightarrow r_j$ 的逆变换是其本身
2. $ri×kr_i \times k$ 的逆变换是 $ri×(1k)r_i \times (\frac{1}{k})$ （或记作 $ri÷kr_i \div k$ ）
3. $r_i+kr_j$ 的逆变换为 $r_i+(-k)r_j$ （或记作 $r_i-kr_j$ ）

2.4.2 矩阵之间的等价关系

如果矩阵 $A$ 经有限次初等行变换变成矩阵 $B$ ，就称矩阵 $A$ 与 $B$ 行等价，记作 $A∼rBA\stackrel{r}{\sim}B$ ；如果矩阵 $A$ 经有限次初等列变换变成矩阵 $B$ ，就称矩阵 $A$ 与 $B$ 列等价，记作 $A∼cBA\stackrel{c}{\sim}B$ ；如果矩阵 $A$ 经有限次初等变换变成矩阵 $B$ ，就称矩阵 $A$ 与 $B$ 等价，记作 $A∼BA\sim B$ 。
等价行列矩阵
矩阵等价

矩阵之间的等价关系具有下列性质：
1. 反身性： $A∼AA\sim A$ ；
2. 对称性：若 $A∼BA\sim B$ ，则 $B∼AB\sim A$ ；
3. 传递性：若 $A∼BA\sim B$ ， $B∼CB\sim C$ ，则 $A∼CA\sim C$ .

我们可以通过初等变换来将矩阵变换为“阶梯形”，便于计算：
行阶梯行最简
行最简标准形
标准形矩阵
这些矩阵相互之间的关系可以用下图表示：
初等变换矩阵之间关系

2.5 初等变换与矩阵乘法的关系

2.5.1 初等矩阵

定义：由单位矩阵 $E$ 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。其中三种初等变换对应有三种初等矩阵
1. 把单位矩阵中第 $i ， j$ 两行对换（或第 $i ， j$ 两列对换）
2. 以数 $k≠0k\neq 0$ 乘单位矩阵的第 $i$ 行（或第 $i$ 列）
3. 以 $k$ 乘单位矩阵的第 $j$ 行加到第 $i$ 行上或以 $k$ 乘单位矩阵的第 $i$ 列加到第 $j$ 列上
定理：设 $A$ 与 $B$ 为 $m×nm\times n$ 矩阵，那么
1. $A∼rBA\stackrel{r}{\sim}B$ 的充分必要条件是存在 $m$ 阶可逆矩阵 $P$ ，使 $P A = B$ ；
2. $A∼cBA\stackrel{c}{\sim}B$ 的充分必要条件是存在 $n$ 阶可逆矩阵 $Q$ ，使 $A Q = B$ ；
3. $A∼BA\sim B$ 的充分必要条件是存在 $m$ 阶可逆矩阵 $P$ 及 $n$ 阶可逆矩阵 $Q$ ，使 $P A Q = B$ .
  以上定理可以用初等矩阵与矩阵 $A$ 左乘与右乘证得，同时引出下面定义。

2.5.2 初等变换与矩阵乘法

性质：设 $A$ 是一个 $m×nm\times n$ 矩阵，对 $A$ 施行一次初等行变换，相当于在 $A$ 的左边乘相应的 $m$ 阶初等矩阵；对 $A$ 施行一次初等列变换，相当于在 $A$ 的右边乘相应的 $n$ 阶初等矩阵。

2.6 矩阵的秩

2.6.1 秩

定义：设在矩阵 $A$ 中有一个不等于0的 $r$ 阶子式 $D$ ，且所有 $r + 1$ 阶子式（如果存在的话）全等于0，那么 $D$ 称为矩阵 $A$ 的最高阶非零子式，数 $r$ 称为矩阵 $A$ 的秩，记作 $R (A)$ 。并规定零矩阵的秩等于0
矩阵 $A$ 的秩就是 $A$ 中非零子式的最高阶数
关于矩阵的秩有以下结论：
一般的矩阵，当行数和列数较高时，按定义求秩是很麻烦的，一个自然的想法是用初等变换将一般的矩阵化为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数，而两个等价的矩阵的秩相等。
矩阵的秩的性质：

2.6.2 结合秩判断线性方程组的解

线性方程组的解的定理及分析

3.向量组的线性相关性

3.1 向量组及其线性组合

向量定义： $n$ 个有次序的数 $,ana_1,a_2,\cdots,a_n$ 所组成的数组称为 $n$ 维向量，这 $n$ 个数称为该向量的 $n$ 个分量，第 $i$ 个数 $a_i$ 称为第 $i$ 个分量。
- 分量全为实数的向量称为实向量
- 分量为复数的向量称为复向量
- 向量分为行向量和列向量
向量组定义：若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组。
定理：向量 $b$ 能由向量组 $,amA:a_1,a_2, \cdots,a_m$ 线性表示的充分必要条件是矩阵 $,am)A=(a_1,a_2, \cdots,a_m)$ 的秩等于矩阵 $,bm)B=(b_1,b_2, \cdots,b_m)$ 的秩。
定理：向量组 $,blB:b_1,b_2, \cdots,b_l$ 能由向量组 $,amA:a_1,a_2, \cdots,a_m$ 线性表示的充分必要条件是矩阵 $,am)A=(a_1,a_2, \cdots,a_m)$ 的秩等于矩阵 $,bl)(A,B)=(a_1, \cdots,a_m,b_1, \cdots,b_l)$ 的秩，即 $R (A) = R (A, B)$
推论：向量组 $,amA:a_1,a_2, \cdots,a_m$ 与向量组 $,blB:b_1,b_2, \cdots,b_l$ 等价的充分必要条件是 $R (A) = R (B) = R (A, B)$

3.2 向量组的线性相关性

定义：给定向量组 $,amA:a_1,a_2, \cdots,a_m$ ，如果存在不全为零的数 $,kmk_1,k_2, \cdots,k_m$ 使 $,kmam=0，k_1a_1,k_2a_2, \cdots,k_ma_m=0，$ 则称向量组 $A$ 是线性相关的，否则称它线性无关
线性相关与线性无关有其几何意义：
线性相关与线性无关的判断非常重要：
定理：

3.3 向量组的秩

定义：设有向量组 $A$ ，如果在 $A $中能选出 $r$ 个向量 $,ara_1,a_2, \cdots,a_r$ 满足：
- 向量组 $,arA_0 ：a_1, a_2, \cdots, a_r$ 线性无关；
- 向量组 $A$ 中任意 $r + 1$ 个向量（如果 $A$ 中有 $r + 1$ 个向量的话）都线性相关；
  那么称向量组 $A_0$ 是向量组 $A$ 的一个最大线性无关向量组，简称最大无关组．
  最大无关组所含向量个数 $r$ 称为向量组 $A$ 的秩，记作 $R_A$ ．

3.4 线性方程组的解的结构

线性方程组的解的结构结论

基础解系
解的关系

3.5 向量空间

3.5.1 向量空间定义

设 $V$ 为 $n$ 维向量的集合，如果集合 $V$ 非空，且集合 $V$ 非空，且集合 $V$ 对于向量的加法及数乘两种运算封闭，那么就称集合 $V$ 为向量空间。
所谓封闭，是指在集合 $V$ 中可以进行向量的加法以及数乘两种运算。具体地说，就是：若 $\in V, b \in V$ ，则 $\in V$ ；若 $\in V, \lambda \in R$ ，则 $λa∈V\lambda a \in V$ 。

3.5.2 向量空间的基的概念

向量空间基的概念
相对应的坐标概念：
向量空间中的坐标

4.相似矩阵及二次型

4.1 向量的内积、长度及正交性

4.1.1 向量的内积

向量的内积

内积具有下列性质：
1. $[x, y] = [y, x]$
2. $[λx,y]=λ[x,y][\lambda x,y]=\lambda[x,y]$
3. $[x + y, z] = [x, z] + [y, z]$
4. 当 $x = 0$ 时， $[x, x] = 0$ ；当 $\neq 0$ 时， $[x, x] > 0$