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1.AVL树的概念
• AVL树是最先发明的⾃平衡⼆叉查找树，AVL是⼀颗空树，或者具备下列性质的⼆叉搜索树：它的
左右⼦树都是AVL树，且左右⼦树的⾼度差的绝对值不超过1。AVL树是⼀颗⾼度平衡搜索⼆叉树，通过控制⾼度差去控制平衡。
• AVL树得名于它的发明者G. M. Adelson-Velsky和E. M. Landis是两个前苏联的科学家，他们在1962年的论⽂《An algorithm for the organization of information》中发表了它。
• AVL树实现这⾥我们引⼊⼀个平衡因⼦(balance factor)的概念，每个结点都有⼀个平衡因⼦，任何
结点的平衡因⼦等于右⼦树的⾼度减去左⼦树的⾼度，也就是说任何结点的平衡因⼦等于0/1/-1，
AVL树并不是必须要平衡因⼦，但是有了平衡因⼦可以更⽅便我们去进⾏观察和控制树是否平衡，
就像⼀个⻛向标⼀样。
• 思考⼀下为什么AVL树是⾼度平衡搜索⼆叉树，要求⾼度差不超过1，⽽不是⾼度差是0呢？0不是更好的平衡吗？画画图分析我们发现，不是不想这样设计，⽽是有些情况是做不到⾼度差是0的。⽐如⼀棵树是2个结点，4个结点等情况下，⾼度差最好就是1，⽆法做到⾼度差是0
• AVL树整体结点数量和分布和完全⼆叉树类似，⾼度可以控制在logN，那么增删查改的效率也可
以控制在O ( logN )，相⽐⼆叉搜索树有了本质的提升。
下图就是一个非常经典的AVL树，目前不用去在意节点顶上的数字，后面我们会详细的去解释。
2.AVL树的实现
2.1AVL树的框架实现
#include<iostream>
#include<map>
#include<assert.h>
#include<vector>
using namespace std;
template<class K, class V>
struct AVLTNode
{
/* data */
public:
AVLTNode(cosnt pair<K, V> kv)
: _kv(kv)
, _left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _parent(nullptr)
, _bf(0)
{}
private:
pair<K, V> _kv;
AVLTNode<K, V>* _left;
AVLTNode<K, V>* _right;
AVLTNode<K, V>* _parent;
int _bf;//banlance factor(右子树 - 左子树)
};
template<class K, class V>
class AVLTree
{
typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
//...
private:
Node* _root = nullptr;
};上面实现的AVL树的基本框架，接下来我们就来对其进行功能填充--各个接口逐一模拟实现。
2.2AVL树的插入（insert）
2.2.1插入的过程
1. 插⼊⼀个值按⼆叉搜索树规则进⾏插⼊。
2. 新增结点以后，只会影响祖先结点的⾼度，也就是可能会影响部分祖先结点的平衡因⼦，所以更新从新增结点->根结点路径上的平衡因⼦，实际中最坏情况下要更新到根，有些情况更新到中间就可以停⽌了，具体情况我们下⾯再详细分析。
3. 更新平衡因⼦过程中没有出现问题，则插⼊结束
4. 更新平衡因⼦过程中出现不平衡，对不平衡⼦树旋转，旋转后本质调平衡的同时，本质降低了⼦树的⾼度，不会再影响上⼀层，所以插⼊结束。
2.2.2平衡因子的更新
更新原则：
• 平衡因⼦ = 右⼦树⾼度-左⼦树⾼度。
• 只有⼦树⾼度变化才会影响当前结点平衡因⼦。
• 插⼊结点，会增加⾼度，所以新增结点在parent的右⼦树，parent的平衡因⼦++，新增结点在
parent的左⼦树，parent平衡因⼦--。
• parent所在⼦树的⾼度是否变化决定了是否会继续往上更新。
更新停止条件：
• 更新后parent的平衡因⼦等于0，更新中parent的平衡因⼦变化为-1->0 或者 1->0，说明更新前
parent⼦树⼀边⾼⼀边低，新增的结点插⼊在低的那边，插⼊后parent所在的⼦树⾼度不变，不会
影响parent的⽗亲结点的平衡因⼦，更新结束。
• 更新后parent的平衡因⼦等于1 或 -1，更新前更新中parent的平衡因⼦变化为0->1 或者 0->-1，说明更新前parent⼦树两边⼀样⾼，新增的插⼊结点后，parent所在的⼦树⼀边⾼⼀边低，parent所在的⼦树符合平衡要求，但是⾼度增加了1，会影响parent的⽗亲结点的平衡因⼦，所以要继续向上更新。
• 更新后parent的平衡因⼦等于2 或 -2，更新前更新中parent的平衡因⼦变化为1->2 或者 -1->-2，说 明更新前parent⼦树⼀边⾼⼀边低，新增的插⼊结点在⾼的那边，parent所在的⼦树⾼的那边更⾼ 了，破坏了平衡，parent所在的⼦树不符合平衡要求，需要旋转处理，旋转的⽬标有两个：1、把 parent⼦树旋转平衡。2、降低parent⼦树的⾼度，恢复到插⼊结点以前的⾼度。所以旋转后也不 需要继续往上更新，插⼊结束。
• 不断更新，更新到根，跟的平衡因⼦是1或-1也停⽌了。
更新到10结点，平衡因⼦为2，10所在的⼦树已经不平衡，需要旋转处理
更新到中间结点，3为根的⼦树⾼度不变，不会影响上⼀层，更新结束
最坏更新到根停⽌
2.2.3插入节点及更新平衡因子的代码实现
//插入节点
bool Insert(const pair<K, V> &kv)
{
if(_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
//开始移动到插入节点的位置
while(cur)
{
if(cur -> _kv.first < kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur -> _right;
}
else if(cur -> _kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur -> _left;
}
else
return false;//不存在重复值的情况
}
//到达插入位置
cur = new Node(kv);
if(parent -> _kv.first < kv.first)
{
parent -> _right = cur;
}
else
{
parent -> _left = cur;
}
//更新平衡因子
while(parent)
{
//插入的节点为父节点的右孩子
if(parent -> _right == cur)
{
parent -> _bf++;
}
//插入节点为父节点的左孩子
else
{
parent -> _bf--;
}
//更新结束 _bf = 0
if(parent -> _bf == 0)
break;
//继续更新 _bf = 1 || -1
else if (parent -> _bf == 1 || parent -> _bf == -1)
{
//继续向上更新_bf
cur = parent;
parent = parent -> _parent;
}
//旋转 _bf = -2 || 2
else if(parent -> _bf == 2 || parent -> _bf == -2)
{
//已经不平衡了--旋转处理
break;
}
else
assert(false);
}
return true;
}
2.3AVL树的旋转（rotate）
2.3.1旋转的原则
1. 保持搜索树的规则
2. 让旋转的树从不满⾜变平衡，其次降低旋转树的⾼度
旋转总共分为四种，左单旋/右单旋/左右双旋/右左双旋。
说明：下⾯的图中，有些结点我们给的是具体值，如10和5等结点，这⾥是为了⽅便讲解，实际中是什么值都可以，只要⼤⼩关系符合搜索树的性质即可。
2.3.2右单旋（RotateR）
• 本图1展⽰的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵⾼度为h的⼦树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要
求。10可能是整棵树的根，也可能是⼀个整棵树中局部的⼦树的根。这⾥a/b/c是⾼度为h的⼦树，
是⼀种概括抽象表⽰，他代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种，具体图2/图3/图4/
图5进⾏了详细描述。
• 在a⼦树中插⼊⼀个新结点，导致a⼦树的⾼度从h变成h+1，不断向上更新平衡因⼦，导致10的平
衡因⼦从-1变成-2，10为根的树左右⾼度差超过1，违反平衡规则。10为根的树左边太⾼了，需要
往右边旋转，控制两棵树的平衡。
• 旋转核⼼步骤，因为5 < b⼦树的值 < 10，将b变成10的左⼦树，10变成5的右⼦树，5变成这棵树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的⾼度恢复到了插⼊之前的h+2，符合旋转原
则。如果插⼊之前10整棵树的⼀个局部⼦树，旋转后不会再影响上⼀层，插⼊结束了。
代码实现：
//右单旋
void RotateR(Node* parent)
{
Node* SubL = parent -> _left;
Node* SubLR = SubL -> _right;
//除了修改孩子的指向还要修改父亲的指向
parent -> _left = SubLR;
//节点为空就可以不用管
if(SubLR)
subLR->_parent = parent;
Node* pparent = parent -> _parent;
SubL -> _right = parent;
parent -> _parent = SubL;
// parent有可能是整棵树的根，也可能是局部的⼦树
// 如果是整棵树的根，要修改_root
// 如果是局部的指针要跟上⼀层链接
if(pparent == nullptr)
{
_root = SubL;
SubL -> _parent = nullptr;
}
else
{
if(parent == pparent -> _left)
{
pparent -> _left = SubL;
}
else
{
pparent -> _right = SubL;
}
SubL -> _parent = pparent;
}
parent -> _bf = SubL -> _bf = 0;
}2.3.4左单旋（RotateL）
• 本图6展⽰的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵⾼度为h的⼦树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要
求。10可能是整棵树的根，也可能是⼀个整棵树中局部的⼦树的根。这⾥a/b/c是⾼度为h的⼦树，
是⼀种概括抽象表⽰，他代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种，具体跟上⾯左旋类
似。
• 在a⼦树中插⼊⼀个新结点，导致a⼦树的⾼度从h变成h+1，不断向上更新平衡因⼦，导致10的平
衡因⼦从1变成2，10为根的树左右⾼度差超过1，违反平衡规则。10为根的树右边太⾼了，需要往
左边旋转，控制两棵树的平衡。
• 旋转核⼼步骤，因为10 < b⼦树的值 < 15，将b变成10的右⼦树，10变成15的左⼦树，15变成这棵树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的⾼度恢复到了插⼊之前的h+2，符合旋转原则。如果插⼊之前10整棵树的⼀个局部⼦树，旋转后不会再影响上⼀层，插⼊结束了。
代码实现：
//左单旋
void RotateL(Node* parent)
{
Node* SubR = parent -> _right;
Node* SubRL = SubR -> _left;
parent -> _right = SubRL;
if(SubRL)
SubRL -> _parent = parent;
Node* pparent = parent -> _parent;
SubR -> _left = parent;
parent -> _parent = SubR;
if(pparent == nullptr)
{
_root = SubR;
SubR -> _parent = nullptr;
}
else
{
if(parent == pparent -> _left)
{
SubR = pparent -> _left;
}
else
{
SubR = pparent -> _right;
}
SubR -> _parent = pparent;
}
SubR -> _bf = parent ->_bf = 0;
}2.3.5左右双旋（RotateLR）
可以看到，左边⾼时，如果插⼊位置不是在a⼦树，⽽是插⼊在b⼦树，b⼦树⾼度从h变
成h+1，引发旋转，右单旋⽆法解决问题，右单旋后，我们的树依旧不平衡。右单旋解决的纯粹的左边⾼，但是插⼊在b⼦树中，10为跟的⼦树不再是单纯的左边⾼，对于10是左边⾼，但是对于5是右边⾼，需要⽤两次旋转才能解决，以5为旋转点进⾏⼀个左单旋，以10为旋转点进⾏⼀个右单旋，这棵树这棵树就平衡了。
• 图7和图8分别为左右双旋中h==0和h==1具体场景分析，下⾯我们将a/b/c⼦树抽象为⾼度h的AVL
⼦树进⾏分析，另外我们需要把b⼦树的细节进⼀步展开为8和左⼦树⾼度为h-1的e和f⼦树，因为
我们要对b的⽗亲5为旋转点进⾏左单旋，左单旋需要动b树中的左⼦树。b⼦树中新增结点的位置
不同，平衡因⼦更新的细节也不同，通过观察8的平衡因⼦不同，这⾥我们要分三个场景讨论。
• 场景1：h >= 1时，新增结点插⼊在e⼦树，e⼦树⾼度从h-1并为h并不断更新8->5->10平衡因⼦，
引发旋转，其中8的平衡因⼦为-1，旋转后8和5平衡因⼦为0，10平衡因⼦为1。
• 场景2：h >= 1时，新增结点插⼊在f⼦树，f⼦树⾼度从h-1变为h并不断更新8->5->10平衡因⼦，引发旋转，其中8的平衡因⼦为1，旋转后8和10平衡因⼦为0，5平衡因⼦为-1。
• 场景3：h == 0时，a/b/c都是空树，b⾃⼰就是⼀个新增结点，不断更新5->10平衡因⼦，引发旋
转，其中8的平衡因⼦为0，旋转后8和10和5平衡因⼦均为0。
代码实现：
//左右双旋
void RotateLR(Node* parent)
{
Node* SubL = parent -> _ left;
Node* SubLR = SubL -> _right;
int bf = SubLR -> _bf;
RotateL(SubL);
RoutateR(parent);
if(bf == 0)
{
parent -> _bf = 0;
SubL -> _bf = 0;
SubLR -> _bf = 0;
}
else if(bf == 1)
{
parent -> _bf = 0;
SubL -> _bf = -1;
SubLR -> _bf = 0;
}
else if(bf == -1)
{
parent -> _bf = 1;
SubL -> _bf = 0;
SubLR -> _bf = 0;
}
else assert(false);
}2.3.6右左双旋
• 跟左右双旋类似，下⾯我们将a/b/c⼦树抽象为⾼度h的AVL⼦树进⾏分析，另外我们需要把b⼦树的细节进⼀步展开为12和左⼦树⾼度为h-1的e和f⼦树，因为我们要对b的⽗亲15为旋转点进⾏右单
旋，右单旋需要动b树中的右⼦树。b⼦树中新增结点的位置不同，平衡因⼦更新的细节也不同，通
过观察12的平衡因⼦不同，这⾥我们要分三个场景讨论。
• 场景1：h >= 1时，新增结点插⼊在e⼦树，e⼦树⾼度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因
⼦，引发旋转，其中12的平衡因⼦为-1，旋转后10和12平衡因⼦为0，15平衡因⼦为1。
• 场景2：h >= 1时，新增结点插⼊在f⼦树，f⼦树⾼度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因⼦，引发旋转，其中12的平衡因⼦为1，旋转后15和12平衡因⼦为0，10平衡因⼦为-1。
• 场景3：h == 0时，a/b/c都是空树，b⾃⼰就是⼀个新增结点，不断更新15->10平衡因⼦，引发旋
转，其中12的平衡因⼦为0，旋转后10和12和15平衡因⼦均为0。
代码实现：
//右左双旋
void Rotate(Node* parent)
{
Node* SubR = parent -> _right;
Node* SubRL = SubR -> _left;
int bf = SubRL -> _bf;
RotateR(SubR);
RotateL(parent);
if(bf == 0)
{
parent -> _bf = 0;
SubL -> _bf = 0;
SubLR -> _bf = 0;
}
if(bf == 1)
{
parent -> _bf = -1;
SubR -> _bf = 0;
SubRL -> _bf = 0;
}
if(bf == -1)
{
parent -> _bf = 0;
SubRL -> _bf = 0;
SubR -> _bf = 1
}
}
2.4AVL树的查找（find）
⼆叉搜索树逻辑实现即可，搜索效率为 O ( logN )
Node* Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while(cur)
{
if(cur -> _kv.first < key)
{
cur = cur -> right;
}
else if(cur -> kv.first > key)
{
cur = cur -> left;
}
else return cur;
}
return nullptr;
}
2.5AVL树平衡检测
我们实现的AVL树是否合格，我们通过检查左右⼦树⾼度差的的程序进⾏反向验证，同时检查⼀下结点的平衡因⼦更新是否出现了问题。
int Height(Node* root)
{
if(root == nullptr) return 0;
int leftheight = Height(root -> _left);
int rightheight = Height(root -> _right);
return leftheight > rightheight : leftheight + 1 : rightheight + 1;
}
bool IsBalanceTree(Node* root)
{
if(root == nullptr) return true;
int leftheight = Height(root -> _left);
int rightheight = Height(root -> _right);
int diff = rightheight - leftheight;
if(abs(diff) >= 2)
{
cout << "height diff error" << endl;
return false;
}
if(root -> _bf != diff)
{
cout << "banlance factor error" <<endl;
return false;
}
return IsBanlance(root -> _left) && IsBanlance(root -> _right);
}
3.对AVL树的总结
AVL 树是一种自平衡二叉搜索树，它在二叉搜索树的基础上，通过特定的机制保证树的高度始终维持在一个相对平衡的状态，即任意节点的左右子树高度差的绝对值不超过 1。这个特性使得 AVL 树在进行插入、删除等操作后，依然能够保持较好的查找性能，时间复杂度稳定在 O(logn)，其中 n 是树中节点的数量。
总体而言，AVL 树以其良好的平衡性和稳定的操作复杂度，在众多需要高效数据处理的领域发挥着重要作用，尽管存在一定的缺点，但在合适的应用场景下能展现出明显的优势。