求解带线积分的泛函极值问题的欧拉方程及自然/狄利克雷边界条件

题目

问题7：写出泛函
$$\Phi (u)={\iint }_D(u_x^2-u_x{u}_y+u_y^2)dxdy+{\int }_{\Gamma }2ug(y)dy$$
的驻点所满足的方程和边界条件，其中 D={(x,y) ⁣:0<x<2, 0<y<1}D=\{(x,y)\colon 0<x<2,\,0<y<1\}D={(x,y):0<x<2,0<y<1}，Γ={(x,y) ⁣:x=0,0<y<1}\Gamma=\{(x,y)\colon x=0,0<y<1\}Γ={(x,y):x=0,0<y<1}，且满足边界条件
$$u{|}_{y=0}=u{|}_{y=1}=u{|}_{x=2}=0.$$

解答

泛函 $$\Phi (u)$$ 的驻点满足欧拉-拉格朗日方程和相应的边界条件。
泛函中的二重积分被积函数为 $$F=u_x^2-u_x{u}_y+u_y^2$$，线积分为 $$2ug(y)$$ 在边界 $$\Gamma$$（即 $$x=0$$）上。

欧拉-拉格朗日方程

由于 $$F$$ 不显含 $$u$$，欧拉-拉格朗日方程为：
$$\frac{\partial F}{\partial u}-\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial F}{\partial u_x}\right)-\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial F}{\partial u_y}\right)=0$$
计算偏导数：
$$\frac{\partial F}{\partial u}=0,\frac{\partial F}{\partial u_x}=2u_x-u_y,\frac{\partial F}{\partial u_y}=-u_x+2u_y$$
进一步求导：
$$\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial F}{\partial u_x}\right)=2u_{xx}-u_{xy},\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial F}{\partial u_y}\right)=-u_{xy}+2u_{yy}$$
代入方程：
$$0-(2u_{xx}-u_{xy})-(-u_{xy}+2u_{yy})=0$$
简化得：
$$-2u_{xx}+u_{xy}+u_{xy}-2u_{yy}=0$$
$$-2u_{xx}+2u_{xy}-2u_{yy}=0$$
除以 $$-2$$：
$$u_{xx}-u_{xy}+u_{yy}=0$$
因此，驻点满足的方程为：
$$u_{xx}-u_{xy}+u_{yy}=0\text{在}D\text{ 内}$$

边界条件

• 在 $$y=0$$ 和 $$y=1$$ 上，给定 $$u=0$$（狄利克雷边界条件）。
• 在 $$x=2$$ 上，给定 $$u=0$$（狄利克雷边界条件）。
• 在 $$x=0$$ 上（即 $$\Gamma$$），由于有线积分项，需推导自然边界条件。
  考虑变分 $$\delta \Phi$$，在 $$x=0$$ 上，$$\delta u$$ 任意，因此边界项必须为零：
  $$-\frac{\partial F}{\partial u_x}+2g(y)=0$$
  代入 $$\frac{\partial F}{\partial u_x}=2u_x-u_y$$：
  $$-(2u_x-u_y)+2g(y)=0$$
  $$2u_x-u_y=2g(y)$$
  因此，在 $$x=0$$ 上，边界条件为：
  $$2u_x-u_y=2g(y)\text{在}\Gamma \text{ 上}$$

总结

驻点满足的方程和边界条件为：

• 方程：
  $$u_{xx}-u_{xy}+u_{yy}=0\text{在}D\text{ 内}$$
• 边界条件：
  $$u{|}_{y=0}=0,u{|}_{y=1}=0,u{|}_{x=2}=0,2u_x-u_y=2g(y)\text{在}x=0\text{ 上}$$