【每日一题】子数组最大异或和

数组异或和的定义：把数组中所有数异或起来得到的值。

给定一个整型数组：arr，其中可能有正、有负、有零，求其子数组的最大异或和

【举例】

arr = 【3】

数组中只有 1 个数，所以只有一个子数组，就是这个数组本身，最大异或和为 3

arr = 【3，-28，-29，2】

子数组有很多，但是【-28，-29】这个子数组的异或和为 7，是所有子数组中最大的。

分析：

异或和没有单调性。两个小的数的异或和可能比两个大数的异或和大。

解法一：暴力算法

对每一个以 i 为开始和以 j 为结尾的子数组，进行异或和计算，获取全局最大的异或和，就是答案。

时间复杂度：$O(N^3)$

时间复杂度：O(1)

import sys

def max_xor(arr):
    if not arr: return 0
    res = -sys.maxsize
    for i in range(len(arr)):
        for j in range(i, len(arr)):
             # 窗口:arr[i,j+1],计算窗口内数据的异或和
            xor = 0
            for k in range(i, j + 1):
                xor ^= arr[k]
            res = max(res, xor)
    return res

解法二：前缀异或和

前缀和的性质：

1. 归零率：A ^ A = 0
2. 恒等率：A ^ 0 = A

根据上述两个性质可以推导出：

$$\begin{gathered} C=A\oplus B⟹ \\ C\oplus A=A\oplus B\oplus A⟹ \\ C\oplus A=B\oplus 0⟹ \\ A\oplus C=B \end{gathered}$$

根据前缀异或和可以计算出任意子数组的异或和。

时间复杂度：$O(N^2)$

时间复杂度：O(N)

def max_xor1(arr):
    if not arr: return 0

  	# 前缀异或和
    prefix_sum = [arr[0]]
    for i in range(1, len(arr)):
        prefix_sum.append(arr[i] ^ prefix_sum[-1])

    res = -sys.maxsize
    for i in range(len(arr)):
        s = 0 if i == 0 else prefix_sum[i - 1]
        for j in range(i, len(arr)):
            # 窗口:arr[i,j+1]
            xor = prefix_sum[j] ^ s
            res = max(res, xor)
    return res

解法三：前缀树 + 贪心

由解法二可知：$C=A\oplus B⟹B=C\oplus A$

即：$arr[\mathrm{2...5}]=arr[\mathrm{0...5}]\oplus arr[\mathrm{0...2}]$

• arr[0…5] 与 0 结合表示：arr[0…5] 子数组的异或和
• arr[0…5] 与 arr[0] 结合表示：arr[1…5] 子数组的异或和
• arr[0…5] 与 arr[0…1] 结合表示：arr[2…5] 子数组的异或和
• arr[0…5] 与 arr[0…2] 结合表示：arr[3…5] 子数组的异或和
• …

与谁结合异或和大，应对的子数组就是要找的子数组。

目前不知道 arr[0…5] 选择哪个？在解法二中是枚举尝试，我们现在想通过前缀树构建一种规则（贪心策略）来加速寻找最佳结合子数组。

贪心策略：在 arr[0…j] 选择 arr[ 0…i ] 结合过程中，优先迎合高位变成 1（高位为1，对应值更大）。

如下图：arr[0…j] 的异或和的二进制形式【0,1,1,0】，从高位A逐一匹配。由于 0 ^ 1 = 1，所以选择 1 的分支（ A --> C ）， 在 F 位置，虽然最期待走的路径是 0 ，但是没有 0 路径所以只能走 1 路径。整条路径【1,0,1,1】 就是 arr[0…j] （【0,1,1,0】）最佳结合的子数组对应的异或和。【0,1,1,0】^ 【1,0,1,1】= 【1,0,1,1】此时【1,0,1,1】 就是的返回结果 arr[0…j]。

前缀树

# 将所有的前缀异或和，加入到 NumTrie，并按照前缀树组织
class NumTrie:
    def __init__(self):
        self.root = Node()

    def add(self, num):
        cur = self.root
        # move 向右位移多少位
        for move in range(31, -1, -1):
            # 获取对应位上的数字（0 或者 1）
            path = (num >> move) & 1
            cur.nexts[path] = cur.nexts[path] if cur.nexts[path] else Node()
            cur = cur.nexts[path]

    # num 最希望遇到的路径，结果返回：最大的异或和
    # 时间复杂度：O(32)
    def max_xor(self, num):
        cur = self.root
        # 返回值(num ^ 最优选择)
        res = 0
        for move in range(31, -1, -1):
            # 获取对应位上的数字（0 或者 1）
            path = (num >> move) & 1
            # sum 该位的状态，最期待的路径（如果sum 位是0，期待path =1，否则 path = 0）
            # 注意：如果是符号位是 1（负数），期待 path = 1，异或后是 0（正数）
            #      如果是符号位是 0（正数），期待 path = 0，异或后是 0（正数）
            best = path if move == 31 else path ^ 1
            # 最期待走的路径  --> 实际路径
            best = best if cur.nexts[best] else best ^ 1
            # 注意：本代码是 python，左移 31 位不会变为负数，python 会将 int 转为 long 变为更大的数
            # 如果是 java：res |= (path ^ best) << move
            tmp = 1
            if move == 31 and num < 0:
                tmp = -1
            res |= tmp * (path ^ best) << move
            cur = cur.nexts[best]

        return res

时间复杂度：$O(N)$

时间复杂度：O(N)

def max_xor2(arr):
    if not arr: return 0
    res = -sys.maxsize

    trie = NumTrie()
    trie.add(0)
    # 一个数没有时，异或和为 0
    xor = 0
    for i in range(len(arr)):
        # xor 等于 0 ~ i 异或和
        xor ^= arr[i]
        # trie 装着所有：一个数也没有（0），0~1，0~2，0~3...0~i-1 的异或和
        res = max(res, trie.max_xor(xor))
        trie.add(xor)
    return res

对数器

import random

def check():
    max_value = 10
    for i in range(100):
        arr = [int(random.random() * max_value) - int(random.random() * max_value) for _ in
               range(int(random.random() * max_value))]
        res = max_xor(arr)
        res1 = max_xor1(arr)
        res2 = max_xor2(arr)
        if res != res1 or res != res2:
            print(i, "ERROR", arr, "res=", res, "res1=", res1, "res2=", res2)
    print("NICE")