素数相关问题的求解

        素数的定义：素数是一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能整除其他自然数的数。在自然数中2是最小的质数。 

给定一个整数n，判断其是否为素数

        首先我们可以设置一个布尔类型的函数，设置一个整数n，因为素数的约数不可能超过n，所以只要检查一下2~n-1的所有整数能否整除n，就可以判断n是不是素数。若b是n的一个约数，则有n/b也是n的约数，由n=b*(n/b)，可知min(b,n/b)<=n。因此只需要检查2~n的范围就可以得出n是否为素数。

bool is_prime(int n){
    for(int i=2; i*i<=n; i++){
        if(n%i==0) return false;//可被整除，不是素数
    }
    return n!=1;//去除1时的情况
}

         亦或是利用约数枚举

vector<int> is_prime(int n){
    vector<int> res;
    for(int i=2; i*i<=n; i++){
        if(n%i==0){
            res.push_back(i);
            if(i!=n/i) res.push_back(n/i);
        }
    }
    return res;//返回res,利用是否为空进行判断
}

int main(){
    cin>>n;
    vector<int> res;
	res = is_prime(n);
	if(!res.empty()||n==1){//去除为1的情况
		cout<<"no"<<endl;
	}else{
		cout<<"yes"<<endl;
	}
	return 0;
}

        由上述算法可知，若是只对单一整数进行素数判断，那么复杂度为O(n)的算法就够了，但我们常常会遇到另一种情况——给出一个自然数n，问n以内素数的个数。

素数的个数

        求解n以内的素数的个数（包括n本身），在2~n的范围内，先从最小的整数2开始搜索，可知在2~n的范围内无可整除其的其他数，因此2为素数，所以可以删除2~n范围内所有2的倍数。执行完上述操作后，从当前最小值3开始搜索，可知在范围内无可整除其的其他数，因此3为素数，所以可以删除2~n范围内所有3的倍数，以此类推执行后续操作……该方法被称为埃氏筛法。

        埃氏筛法

is_prime[MAX_N];

int sieve(int n){
    int ans = 0;//用于记录素数的个数
    for(int i=0; i<=n; i++){
        is_prime[i] = true;//初始化所有值为true
    }
    is_prime[0] = is_prime[1] = false;//将0与1除外
    for(int i=0; i<=n; i++){
        if(is_prime[i]){
            ans++;
            //将j初始化为i的2倍，在2~n的范围内，j不断加i，以i的倍数的身份逐渐递增至n
            for(int j=2*i; j<=n; j+=i){
                is_prime[j] = false;
            }
        }
    }
    return ans;
}

        若是想要记录n以内素数值是那些，可以利用数组进行存储记录，依次枚举n以内的素数

prime[ans++] = i;

区间内的素数的个数 

        给定两个自然数a与b，问区间[a,b)内有多少素数。由上述的条件可知，b以内的最小合数的值一定不超过n，所以可以将埃氏筛法运用在区间求解中（当然也可以利用最开始的约数枚举方法来进行求解，但复杂度相对较高），可以设置两个布尔类型的数组，prime_small与is_prime，两个数组分别用来管理[2,b)与[a,b)，从[2,b)筛得素数后，在[a,b)中将其倍数删除，从而得到[a,b)中的素数。

typedef long long ll;

bool prime_small[MAX_N];
bool is_prime[MAX_N];

void sieve(ll a,ll b){
    for(int i=0; (ll)i*i<b; i++){
        prime_small[i] = true;
    }
    for(int i=0; i<b-a; i++){
        is_prime[i] = true;
    }

    for(int i=0; (ll)i*i<b; i++){
        if(prime_small[i]){
            for(int j=2*i; j<b; j++){//筛[2,√b​​​​​​​​​​​​)
                prime_small[j] = false;
            }
            for(ll j=max(2LL,(a+i-1)/i)*i; j<b; j+=i){//筛[a,b)
                is_prime[j-a] = false;
            }
        }
    }
}