HJ16 购物单背包问题-01背包

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知识点动态规划

校招时部分企业笔试将禁止编程题跳出页面，为提前适应，练习时请使用在线自测，而非本地IDE。

描述

王强决定把年终奖用于购物，他把想买的物品分为两类：主件与附件，附件是从属于某个主件的，下表就是一些主件与附件的例子：

如果要买归类为附件的物品，必须先买该附件所属的主件，且每件物品只能购买一次。

每个主件可以有 0 个、 1 个或 2 个附件。附件不再有从属于自己的附件。

王强查到了每件物品的价格（都是 10 元的整数倍），而他只有 N 元的预算。除此之外，他给每件物品规定了一个重要度，用整数 1 ~ 5 表示。他希望在花费不超过 N 元的前提下，使自己的满意度达到最大。

满意度是指所购买的每件物品的价格与重要度的乘积的总和，假设设第ii件物品的价格为v[i]v[i]，重要度为w[i]w[i]，共选中了kk件物品，编号依次为j_1,j_2,…,j_kj1,j2,…,j**k，则满意度为：v[j_1]w[j_1]+v[j_2]w[j_2]+ … +v[j_k]w[j_k]v[j1]∗w[j1]+v[j2]∗w*[j2]+…+v[j**k]∗w[j**k]。（其中 * 为乘号）

请你帮助王强计算可获得的最大的满意度。

输入描述：

输入的第 1 行，为两个正整数N，m，用一个空格隔开：

（其中 N （ N<32000 ）表示总钱数， m （m <60 ）为可购买的物品的个数。）

从第 2 行到第 m+1 行，第 j 行给出了编号为 j-1 的物品的基本数据，每行有 3 个非负整数 v p q

（其中 v 表示该物品的价格（ v<10000 ）， p 表示该物品的重要度（ 1 ~ 5 ）， q 表示该物品是主件还是附件。如果 q=0 ，表示该物品为主件，如果 q>0 ，表示该物品为附件， q 是所属主件的编号）

输出描述：

输出一个正整数，为张强可以获得的最大的满意度。

示例1

输入：

1000 5
800 2 0
400 5 1
300 5 1
400 3 0
500 2 0

复制

输出：

2200

复制

示例2

输入：

50 5
20 3 5
20 3 5
10 3 0
10 2 0
10 1 0

复制

输出：

130

复制

说明：

由第1行可知总钱数N为50以及希望购买的物品个数m为5；
第2和第3行的q为5，说明它们都是编号为5的物品的附件；
第4~6行的q都为0，说明它们都是主件，它们的编号依次为3~5；
所以物品的价格与重要度乘积的总和的最大值为10*1+20*3+20*3=130       

题解

0-1背包问题

这道题是经典的背包问题，首先是0-1背包问题

有一个背包可以装物品的总重量为W现有N个物品，每个物品W[i]，价值在v[i]，用背包装物品，能装的最大价值是多少

可以定义一个状态转移数组dp[i][j]，表示前i个物品，背包总量为j的情况下能装的最大价值

状态转移方程为
$$dp[i][j]=\max (dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i])$$
也就是说要么当前物品不放入背包dp[i-1][j]，或者当前物品放入背包dp[i-1][j-w[i]] + v[i]

购物车思路

这道题本质上还是0-1背包问题，不过多了主件和附件，可以将主件和附件放在一起考虑，即考虑每个物品的时候要考虑每种可能出现的情况

• 主件
• 主件+附件1
• 主件+附件2
• 主件+附件1+附件2

可以使用一维数组优化状态转移方程空间复杂度，并用两个m+1行3列的数组分别存储物品的价格和满意度，代码如下：

import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        int n = scanner.nextInt(), m = scanner.nextInt();
        int[][] price = new int[m + 1][3];
        int[][] importance = new int[m + 1][3];
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            int v = scanner.nextInt(), p = scanner.nextInt(), q = scanner.nextInt();
            int im = v * p;
            if (q == 0) {
                price[i][0] = v;
                importance[i][0] = im;
            } else {
                if (price[q][1] == 0) {
                    price[q][1] = v;
                    importance[q][1] = im;
                } else {
                    price[q][2] = v;
                    importance[q][2] = im;
                }
            }
        }

        int[] dp = new int[n + 1];
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            if (price[i][0] == 0)
                continue;
            for (int j = n; j >= price[i][0]; j--) {
                int a = price[i][0];
                int a1 = importance[i][0];
                int b = price[i][1];
                int b1 = importance[i][1];
                int c = price[i][2];
                int c1 = importance[i][2];

                if (j >= a) {
                    dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-a] + a1);
                }

                if (j >= a + b)
                    dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-a-b] + a1 + b1);

                if (j >= a + c)
                    dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-a-c] + a1 + c1);

                if (j >= a + b + c)
                    dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-a-b-c] + a1 + b1 + c1);
            }
        }

        System.out.println(dp[n]);
        
    }
}

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