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参考教材《机器人学建模、控制与视觉》熊有伦（ps初学者不建议自学，书中有一些错误可能会带来困扰）笔者参考的网课（华中科技大学赵欢老师）
课程链接在此：7、第5章：操作臂运动学_哔哩哔哩_bilibili
电子书下载自取（某宝淘的电子书清晰度不高，自己又买了本书，看个人习惯）：
链接：https://pan.baidu.com/s/1czP0YNaHBqlbMhDiQKLCYA
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1. 单连杆参数和连杆坐标系

通常操作臂是由关节（转动和移动，每个关节有一个自由度）和连杆组成的。
连杆运动学——描述两端的关节轴线保持固定的几何关系，下面先从单连杆开始介绍：

定义两关节轴( $i$ )；
定义两个关节轴分别为（自左向右）：轴线 $i-1$ 、轴线 $i$ (在空间中是交错的，既不平行也不垂直)
公法线长度（ $a_{i-1}$ ）
轴线 $i-1$ 、轴线 $i$ 的公垂线（长度标量，不分正负）
扭角（ $\alpha _{i-1}$ ）
轴线 $i-1$ 绕着公法线 $a_{i-1}$ 旋转的角度（常与定义的x轴有关，逆时针为正）

2.两连杆之间的链接描述

$\LARGE a_{i-1}\, \,\alpha _{i-1}\,\,d_i\,\,\theta_i$

在1.单连杆参数和坐标系描述的基础上再增加一个连杆，引入了三个变量：

公垂线 $a_i$
连杆 $i$ 两关节的公垂线
连杆偏距（ $d_i$ ）
公垂线 $a_{i-1}$ 和 $a_i$ 之间的位置关系（有正负）
关节角（ $\theta_i$ ）
公垂线 $a_{i-1}$ 延长线和 $a_i$ 夹角（有正负）

2.1 对于首端连杆和末端连杆规定

$a_0=a_n=0$
如果关节1是旋转关节
$\large \theta_1$ 是关节变量， $\theta_1$ 的零位可以任意选择， $d_1$ 固定不变，习惯规定 $d_1$ =0
如果关节1是移动关节
$d_1$ 是关节变量， $d_1$ 的零位可以任意选择， $\theta_1$ 固定不变，习惯规定习惯规定 $\theta_1$ =0

每个连杆由四个参数描述，两个参数（ $a_{i-1}$ 、 $\alpha _{i-1}$ ）描述连杆与相邻连杆的连接关系，另外两个参数（ $d_i$ 、 $\theta_i$ ）描述连杆自身。

对于旋转关节， $\theta_i$ 是关节变量，其他三个参数固定不变，称为连杆参数；
对于移动关节， $d_i$ 是关节变量，其他三个参数固定不变，称为连杆参数；

2.2 连杆变换和运动学方程

坐标系{ i }相对于{ i-1 }的变换矩阵 $_{i}^{i-1}\textrm{T}$ 可以看成四个字变换矩阵的内积：

绕 $\large x_{i-1}$ 轴转 $\large \alpha_{i-1}$ 角；
沿 $\large x_{i-1}$ 移动 $\large a_{i-1}$ ；
绕 $\large z_i$ 轴转 $\theta_i$ 角；
沿 $\large z_i$ 轴移动 $\large d_i$ ；

因为这些变换都是相对动坐标系来描述的，按照“从左向右”的原则，可以得到：

$\large _{i}^{i-1}\textrm{T}=Rot(x,\alpha_{i-1})Trans(x,a_{i-1})Rot(z,\theta_{i})Trans(z,d_{i})$

$\large _{i}^{i-1}\textrm{T}=Screw(x,a_{i-1},\alpha_{i-1})Screw(z,\theta_{i},d_{i})$

$_{i}^{i-1}\textrm{T}$ 的一般表达式：

2.3 坐标系建立步骤总结（改进的D-H法）

定各关节轴线；
找相邻轴线（ $\large i\,\,\,i+1$ ）公垂线 $\large a_{i}$ ，或两轴的交点。公垂线 $\large a_{i}$ 与轴线 $\large i$ 的交点为{ i }的原点 $\large o_i$ ；
规定 $\large z_i$ 轴与关节 $\large i$ 轴线重合；
规定 $\large x_i$ 轴线与公垂线 $\large a_{i}$ 重合，若 $\large z_i$ 和 $\large z_{i+1}$ 相交，则规定 $\large x_i$ 是 $\large z_i$ 和 $\large z_{i+1}$ 所组成的平面的法线；
右手定则确定 $\large y_i$ ；
当第一个关节变量为0时规定{ 0 }与{ 1 }重合。对于末端坐标系{ n }，原点和 $\large x_n$ 的方向可以任意选择。但是，总是希望所选择的坐标系{ n }使连杆参数尽可能为0；

例1. SCARA 机器人的运动学方程

1.1SCARA机器人D-H参数确定：

对于首端连杆和末端连杆 $a_0=a_4=0$ ；
旋转关节 $\theta_i(i=1\sim 3)$ 是关节变量， $\theta_i(i=1\sim 3)$ 的零位可以任意选择， $d_i(i=1\sim3)$ 固定不变，习惯规定 $d_i(i=1\sim3)=0$ ；
移动关节 $\theta_4$ 是关节变量时， $d_4=l_0+\theta_4$ 的零位可以任意选择， $\theta_4$ 固定不变，习惯规定 $\theta_4=0$ ；
各坐标系之间没有相对于 $x$ 轴的偏转， $\alpha_i=0$ ；
两平行的旋转轴时变量d=0，会有变量a；

1.2综上SCARA机械臂的D-H参数如下表：

SCARA机器人D-H参数
$i$	$a_{i-1}$	$\alpha_{i-1}$	$d_i$	$\theta_i$
1	0	0	0	$\theta_1$
2	$l_1$	0	0	$\theta_2$
3	$l_2$	0	0	$\theta_3$
4	0	0	$l_0$ + $\theta_4$	0

1.3带入 $_{i}^{i-1}\textrm{T}$ 中可得到：

1.4上述各连杆变换矩阵之积，可得到运动学方程，即末端坐标系到基坐标系的变换矩阵：

例2. PUMA560机器人运动学方程

**PUMA560机器人各连杆坐标系**
**（a）机器人外形（b）坐标原点和坐标轴x和z**

从图中可知关节1和关节2轴线相互垂直，关节3和关节2轴线平行，关节4和关节3轴线相互垂直，关节4、5、6为球型腕关节轴线相互垂直

2.1PUMA机器人D-H参数确定：

旋转关节 $\theta_i(i=1\sim6)$ 是关节变量， $\theta_i(i=1\sim6)$ 的零位可以任意选择， $d_i(i=1\sim6)$ 固定不变，习惯规定 $d_i(i=1\sim6)=0$ ，但是由于PUMA560在关节1和2、关节3和4是的轴线是相互垂直的，从{2}的z方向看{1}存在d2（从{4}的z轴方向看{3}存在d4，一般规定从后一个坐标系的z轴看前一个坐标系）；
{2}相对于{1}相当于绕着{1}的x1轴顺时针旋转90°，所以 $\alpha_1=-90^{\circ}$ （平行的旋转轴之间不会存在变量 $\alpha$ ,垂直轴会存在±90°的角度，符号需要看旋转的方向，规定逆时针为正顺时针为负），同理可知 $\alpha_3=\alpha_5=-90^{\circ}$ $\alpha_4=90^{\circ}$
各坐标系之间没有相对于 $x$ 轴的偏转， $\alpha_i=0$ ；
对于首端连杆和末端连杆 $a_0=a_6=0$ ，关节2和关节1轴向相互垂直没有变量a，而关节3和关节2的轴线相互平行存在变量 $a_2$ ，关节4和关节3轴线相互垂直但是由于连杆2和连杆3的特殊链接方式，不是同心处而是同心偏上处一个固定长度即为 $a_3$ ；
综上PUMA560机器人的连杆参数可总结为下表：