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向量空间：

若存在一个向量空间为 $R^{^{n}}$ ，则该空间中有 $N$ 个元素， $x$ 为 $N$ 维向量空间，表示如下：

$x=\begin{bmatrix} x_{1}\\ ...\\ x_{n}\\ \end{bmatrix}$

矩阵的4个空间：

1.列空间：

如上面的矩阵，由这n个m维向量所张成的空间就是矩阵的列空间，记作 $C(A)$ 。

例1：一个3×3矩阵

$A_{1}=\begin{bmatrix} 1 & 2& 4\\ 1& 3& 2\\ 1& 5& 6 \end{bmatrix}$ $V1=\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{bmatrix}$ ， $V2=\begin{bmatrix} 2\\ 3\\ 5 \end{bmatrix}$ ， $V3=\begin{bmatrix} 4\\ 2\\ 6 \end{bmatrix}$

显然，V1，V2，V3线性无关，有三个基底，对这三个列向量线性组合，可以表示三维空间中任一向量，意味着V1，V2，V3这3个矩阵的列向量张成的空间为一个3维空间，则矩阵 $A_{1}$ 的列空间为一个三维空间。

例2：

$A_{2}=\begin{bmatrix} 1 & 2& 4\\ 1& 2& 2\\ 1& 2& 6 \end{bmatrix}$ $V1^{'}=\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{bmatrix}$ ， $V2^{'}=\begin{bmatrix} 2\\ 2\\ 2 \end{bmatrix}$ ， $V3^{'}=\begin{bmatrix} 4\\ 2\\ 6 \end{bmatrix}$

显然 $V1^{'}$ ， $V2^{'}$ 线性相关， $A_{2}$ 共有两个基底，在一个三维空间中，张成的一个二维平面上的任意一个向量。这时， $A_{2}$ 的列空间为一个二维空间。

总结：对任一个m×n的矩阵，以其n个列向量为基底张成的空间为该矩阵的列空间。可以想象，因为矩阵每一个列向量的维度为m维，其张成空间的最大维度必然为m维度，则矩阵A的列空间一定为 $R^{m}$ 或者 $R^{m}$ 空间的子空间。

2.零空间：

矩阵A，向量x，若有 $Ax=0$ ，则所有满足条件的x集合成的空间为矩阵A的零空间，记做 $N(A)$ 。

对上矩阵 $A_{1}$ ，只有向量 $x=\begin{bmatrix} 0 & 0& 0\end{bmatrix}^{T}$ 才能满足条件，也即：矩阵A的零空间为一个0维度的空间(零空间≠0维空间)。

对于矩阵 $A_{2}$ ，只有向量 $x=\begin{bmatrix} a_{1} & -(a_{1})/2& 0\end{bmatrix}^{T}$ ( $a_{1}$ 为任意实数)才能满足条件，矩阵 $A_{2}$ 的零空间为一个1维的空间(直线)。

3.行空间：

与列空间相反，把所有的行看成向量，也能张成一个空间，该空间为A的行空间记作 $C\left ( A^{T} \right )$

4.左零空间：

左零空间为矩阵A的转置 $A^{T}$ 的零空间。

矩阵的秩：

矩阵的秩的定义为列空间的维度数，记为r，那么对于矩阵A1来说C(A1)的维度数位3，则矩阵的秩为3。此外，对于一个m×n的矩阵，零空间的维度和矩阵列空间的维度满足：零空间维度=n-r。

如何理解这个n-r，我们来回顾下定义，本质上零空间为向量x经过A1投影后被投影到空间原点的x的集合，向量x为一个n维向量，投影结果为Ax，Ax为列空间中的一个向量其维度必然等于列空间的维度r，则必然有n-r个维度的"信息"被压缩，所以零空间的维度就必然等于n-r。（或者理解为，列空间补全了n-r个维度的信息后，可以变为原x所在的空间）

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线性代数：向量空间矩阵空间秩 [上]

向量空间：

矩阵的4个空间：

1.列空间：

2.零空间：

3.行空间：

4.左零空间：

矩阵的秩：

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