反向传播简单来说就是通过求偏导数从而更新神经网络中权重w的过程

首先先简单复习一下前向传播（forward propagation）

篇幅有限，bias（b）在图中就没画出来，大家知道有这么个东西就好 ，顺便再偷个懒，输出层的激活函数忘记画上去了~

在正式说反向传播之前，先说两个简单的概念

1.loss函数

 loss函数是一个描绘了我们的【预测值】和【实际值】之间误差的函数，它的自变量通常是一个或者多个weight，因变量是误差的大小，这点很重要。我们的神经网络能够优化的就是weight和bias，对于同样的输入结果x1，x2......调整不同的w和b，得到的loss会不一样。而loss函数就记录了在同样的一组输入结果x1，x2，......，xn下，使用不同的w和b以及它们与实际值之间的差值

2.梯度下降（gradient descent，GD）

梯度下降是一种帮助我们寻找loss函数最低点的最基础方法，这类方法有很多种，它们有一个统一的名字叫【优化器】

我举一个下山的例子，loss函数是一座连绵的山峰，我们要做的就是山的谷底，而我们的起点是一个随机的点

梯度下降的公式大致描述如下，以上图为例：

其中

：学习率（learning rate），可以理解为我们下山的步伐，一步迈多少米，一定是正数

：斜率，当前这个点的陡峭程度

以上图为例，当斜率小于0时，意味着a点往右移动，下山方向正确，当斜率大于0时，如c点，则向左移动，下山方向正确

从公式中可以看出，当斜率为0时，下山就停止了，算法认为我们已经到达了山谷。

但是，从图中我们可以看出，当a点下降到x1点时，算法认为我们到达了最低点，但是实际上，我们的最低点在x2，这就是陷入了局部最优的问题

那么要如何解决局部最优问题呢？其中一个方法就是调大学习率，让a点一步跨过去它右边那个山峰，跨到b点或者c点的位置，再继续下降。

但是，过大的学习率也会有一定的问题，就是使得a点在一个U形两端来回蹦跶，学名叫做无法收敛，如下图所示

所以，选取合适的学习率，是一门技术活

3.反向传播

接下来就来看看什么是反向传播

反向传播其实就是，通过前向传播画出的loss，使用梯度下降或者其他优化方法，找到那个使得loss函数值最小的一组w，将他更新到我们的神经网络中去

不过，在我们一般的实际应用中，通常会有很多很多个w，所以我们就要用到数学中的偏导数概念，下面直接拿例子来说明

 比如我想研究一下w5这个参数对于我最终的有什么影响，我们就要先梳理清楚w5的影响是怎么传播到total中去的

所以，对于求偏导数的过程，也是一样的传播道理

先看看w5对z有什么影响，再看看z对output1有什么影响（这里实际上就是对激活函数sigmoid求导），最后再看output1对losstotal有什么影响

在计算出了对于w5的偏导数之后，就可以使用梯度下降的公式进行更新了

接下来稍微加大一点难度，我想研究一下w1对最终的losstotal的影响，还是和前面一样，梳理清楚影响传播的路径

可以看到，与w5不同的是，w1对于losstotal的影响有两个分支，所以我们就需要分开来看，

然后最后把他们加起来，就是w1对于losstotal的影响 

最后使用梯度下降进行更新