行列式【线性代数系列（一）】

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1. 行列式及相关概念

1.1 二阶行列式

 
二阶行列式
 
对二阶行列式和三阶行列式可以使用对角线法则进行运算，四阶及更高阶的行列式需要用到全排列的知识进行求解。
$$\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}$$

1.2 三阶行列式

三阶行列式
 
$$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}{a}_{33}+a_{12}{a}_{23}{a}_{31}+a_{13}{a}_{21}{a}_{32}$$
               $-a_{13}{a}_{22}{a}_{31}-a_{12}{a}_{21}{a}_{33}-a_{11}{a}_{23}{a}_{32}$

 
其中，在行标排列都为123的前提下，
$a_{11}{a}_{22}{a}_{33}，a_{12}{a}_{23}{a}_{31}，a_{13}{a}_{21}{a}_{32}$ 三个排列，其列标对应的排列依次为123,231,312，对应的逆序数分别为0,2,2，所以都是偶排列。其对应的符号都是加号。
 
$a_{13}{a}_{22}{a}_{31}，a_{12}{a}_{21}{a}_{33}，a_{11}{a}_{23}{a}_{32}$三个排列其列标对应的排列依次为321,213,132，对应的逆序数分别为3，1，1，所以都是奇排列。其对应的符号都是减号。

1.3 n阶行列式

n阶行列式
 
$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& ...& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& ...& a_{2n}\\ ...& ...& ...& ...\\ a_{n1}& a_{n2}& ...& a_{nn}\end{array}\right|=\sum (-1{)}^t{a}_{1p_1}{a}_{2p_2}...a_{n{p}_n}$$

$p_1，p_2，...，p_n$是自然数1，2，…，n组成的排列，可以是排列中的任何一个， $\sum$ 对这所有可能的排列进行遍历。
其中，t是列标$p_i$的排列的逆序数。

1.4 行列式相关概念及定理

行列式的本质是一个数，是不同行不同列元素成绩的代数和。
相关概念：
①对数字$a_{ij}$，$a_{ij}$称为行列式的元或元素，第一个下标i成为行标，第二个下标j称为列标。方程组的系数所确定的行列式称为系数行列式。
 
②关于排列的奇偶性，如果发生对换，则存在定理：一个排列中任意两个元素互换，排列改变奇偶性。
（推论：奇排列对换成为标准排列需要对换奇数次，偶排列对换成为标准排列则需要偶数次）。
 
③转置行列式：行列式D的转置写作$D^T$。行列式与它的转置行列式是相等的。
 
④对换两行：对换行列式的两行，行列式改变符号。所以，如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式值为0。
 
⑤行列式的某一行（列）同乘以k，等于用k乘以整个行列式。(所以k可以提出来以化简行列式)。
 
⑥如果有两行（列）的元素成比例，则行列式值为0。
 
⑦行/列的拆分：
 
$$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}+b_{21}& a_{22}+b_{22}& a_{23}+b_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=$$ $$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ b_{21}& b_{22}& b_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|$$
⑧把行列式某行/列的元素同乘以同一个数后再加到另一行/列上去，行列式值不变。
 
$$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}+k{a}_{11}& a_{22}+k{a}_{12}+& a_{23}+k{a}_{13}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|$$

2. 行列式按行（列）展开法则

余子式
 
在n阶行列式中，把(i,j)元$a_{ij}$所在的第i行和第j列都划去之后，留下的n-1阶行列式叫做(i,j)元$a_{ij}$的余子式。记作$M_{ij}$。
$A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$叫做 (i,j) 元$a_{ij}$的代数余子式。

定理一
 
对一个n阶行列式D，除了$(i,j)$元$a_{ij}$之外，如果第i行的所有元素都为0，那么这个行列式等于$a_{ij}$与它代数余子式的乘积，即
             $D=a_{i,j}{A}_{i,j}$

定理二
 
行列式D 等于 它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和，即
 
      $D=a_{i1}{A}_{i1}+a_{i2}{A}_{i2}+...+a_{in}{A}_{in}$   $(i=1,2,...,n)$
                  或
      $D=a_{1j}{A}_{1j}+a_{2j}{A}_{2j}+...+a_{nj}{A}_{nj}$   $(j=1,2,...,n)$

定理三
 
行列式的任意一行（列）的元素，与其对应的代数余子式的乘积之和，为0。
即
    ${\sum }_{k=1}^n{a}_{ik}{A}_{jk}=a_{i1}{A}_{j1}+a_{i2}{A}_{j2}+...+a_{in}{A}_{jn}=0,$  $i\ne j$
 
    ${\sum }_{k=1}^n{a}_{ki}{A}_{kj}=a_{1i}{A}_{1j}+a_{2i}{A}_{2j}+...+a_{ni}{A}_{nj}=0,$  $i\ne j$

3. 几种特殊行列式

3.1 对角行列式

对角线以上元素都为0的行列式叫做下三角形行列式，对角线以下元素都为0的行列式叫做上三角形行列式。
主对角线以上和以下元素都为0的行列式被称为对角行列式。
上（下）三角形行列式，和对角行列式的值都等于$a_{11}{a}_{22}...a_{nn}$。（主对角线即左上到右下的对角线上数字的乘积）
 

3.2 反对角行列式

反对角行列式：
$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& ...& a_{1,n-1}& a_{1n}\\ a_{21}& ...& a_{2,n-1}& a_{2n}\\ ...& & ...& ...\\ a_{n1}& ...& 0& 0\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}0& ...& 0& a_{1n}\\ 0& ...& a_{2,n-1}& a_{2n}\\ ...& & ...& ...\\ a_{n1}& ...& a_{n,n-1}& a_{nn}\end{array}\right|=$$
       $(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}{a}_{1n}{a}_{2,n-1}...a_{n1}$
 
其中$\frac{n(n-1)}{2}$即排列：$n,n-1,...,1$中的逆序数。

3.3 拉普拉斯展开式

如果A，B分别是m阶矩阵和n阶矩阵，则
$$\left|\begin{array}{cc}A& \ast \\ 0& B\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}A& 0\\ \ast & B\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}A\end{array}\right|\times \left|\begin{array}{c}B\end{array}\right|$$
$$\left|\begin{array}{cc}0& A\\ B& \ast \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\ast & A\\ B& 0\end{array}\right|=(-1{)}^{mn}\left|\begin{array}{c}A\end{array}\right|\times \left|\begin{array}{c}B\end{array}\right|$$

3.4 范德蒙行列式

$$\left|\begin{array}{cccc}1& 1& ...& 1\\ x_1& x_2& ...& x_n\\ x_1^2& x_2^2& ...& x_n^2\\ ...& & ...& ...\\ x_1^{n-1}& x_2^{n-1}& ...& x_n^{n-1}\end{array}\right|=\prod _{1\le j\le i\le n}(x_i-x_j)$$

4.python计算行列式

以Numpy数组的形式生成两个行列式，并对其进行求解，代码如下：

import numpy as np
from numpy.linalg import det

A = np.array([
    [1, 0, 0, 0],
    [5, 2, 0, 0],
    [10, 5, 3, 0],
    [20, 10, 6, 4]
])

B = np.array([[1, 2],
              [3, 4]])

print(A)
print(det(A))
print("=================================")
print(B)
print(det(B))

程序执行结果如下：
    

本次分享就到这里，小啾感谢您的关注与支持！
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