【考研数学】八.曲面积分

曲面积分

基础知识点1 曲面积分的分类

• 第一类曲面积分（对面积的面积分）
• 第二类曲面积分（对坐标的面积分）

基础知识点2 第一类曲面积分的识别

曲面的积分区域和曲线的积分区域不同。

基础知识点3 第二类曲面积分的识别

前面的积分区域相同，但是后面的微元不是dS，是dxdydz这类的，就是第二类曲面积分。

基础知识点4 第二类曲面积分的可省略写法

多余一项时，只需要写第一个积分符号，后面的积分符号都可以不写。

基础知识点5 当被积函数为1时第一类曲面积分的意义

$${\iint }_{\sum }dS=\sum 的表面积$$

核心考点1 第一类曲面积分的计算

• 奇偶性
• 对称性
• 直接计算：最终转化为二重积分
  1. 画积分区域
  2. 写出z = xxx的方程
  3. 消去：投影到xOy平面后面积为0，代入到被积函数后使得被积函数为0
  4. 计算二重积分
     • 积分区域是投影
       

附一道例题：答案是（根号3） / 12

核心考点2 第二类曲面积分的计算

1. 常规方法(同上)：注意通过夹角判断正负。

2. 高斯公式：转三重积分时，dydz 对x求偏导，dxdy 对z求偏导，以此类推…

方法选择：

• 若多于一项，选择高斯公式；否则采用常规方法。
• 若没（闭合|可导），可以尝试补面使其（闭合|可导），最后单独减掉补上的面即可。