31.向量和空间几何

31.1 三维坐标系

空间内两点间长度

空间中球的标准方程

31.2 向量

31.2.1 向量长度

31.2.2 向量代数运算

31.2.3 单位向量

例子：

求图中向量 $\overrightarrow{P_1{P}_2}$ 的方向向量

31.3 点积（The Dot of Product）

点积衡量两向量的共线程度

点积的几何意义：

31.3.1 点积的性质和向量投影

点积性质

向量投影

31.4 叉积（The Cross of Product）

叉积衡量两向量的垂直程度

31.4.1 叉积的定义

31.4.2 叉积法则

使用右手定则：
$i\times j$ 四根手指从 $i$ 指向 $j$，此时大拇指指向的方向即为叉积后向量的方向
$j\times i$ 四根手指从 $j$ 指向 $i$，此时大拇指指向的方向即为叉积后向量的方向


叉积的行列式形式

31.4.3 三重标积/框积

31.5 空间中的线和面

31.5.1 空间中直线的方程

例子：

31.5.2 平面内点到线的距离

例子：

31.5.3 空间内点到平面的距离

例子：

31.5.4 空间中平面的方程

例子：

31.5.5 判断两平面位置关系

如果两平面的法向量 ${\mathbf{n}}_1、{\mathbf{n}}_2$，满足这样的关系 ${\mathbf{n}}_1=k{\mathbf{n}}_2$，两法向量平行，则两平面平行

如果两平面的法向量 ${\mathbf{n}}_1、{\mathbf{n}}_2$ 不平行，则两平面相交

例子：

31.5.6 两平面的夹角

例子：

31.6 柱面和二次曲面

柱面由直线沿着母线移动产生
二次曲面由二阶方程定义

31.6.1 柱面

例子：

31.6.2 二次曲面（椭球、抛物面、椭圆锥、双曲面）