测地线又称为大地线，可以定义为空间曲面上两点的局部最短路径。测地线具有广泛的应用，例如在工业上测地线最短的性质就意味着最优最省，在航海和航空中，轮船和飞机的运行路线就是测地线。[Crane et al. 2013]提出了利用热运动方程来计算网格测地线的方法，可以想象一下，当一根烫的针尖接触到曲面上的一点时，热量会随着时间的推移而扩散，测地距离因此可以和热运动相联系。具体算法过程如下图所示：
第一步：热运动方程用来描述热的传播状态：
将热运动方程离散化并整理后得到：
其中：id为单位矩阵，t为时间间隔，Δ为离散Laplacian算子，ut为t时刻的热状态，u0为初始时刻的热状态。
第二步：第一步计算得到的热梯度方向与测地距离的梯度方向相同，由Eikonal方程知道测地距离的梯度为单位向量，于是通过归一化热梯度我们得到测地距离的梯度：
第三步：得到测地距离的梯度之后，测地线问题即变为求解以下式子：
根据变分法，上式最小化即求解泊松方程：
其中：Φ即为网格上顶点距离源点的测地距离。
function [D] = geodesics_in_heat(V, F, src)
% choose time step
c = ;
t = c * mean(doublearea(V, F))/;
%% Step : Integrate the heat flow for some fixed time t
L = cotmatrix(V, F);
M = massmatrix(V, F, 'barycentric');
nV = size(V, );
u0 = zeros(nV, );
u0(src) = ;
A = M - t*L;
B = M*u0;
nsrc = length(src);
% 1.1 dirichlet condition
hole = Cal_Boundary(F);
if isempty(hole)
boundary = [];
else
boundary = hole.boundary.edge(:,)';
end
b = setdiff(boundary, src);
nb = [b, src];
Acons = sparse([:length(nb)], nb, ones(,length(nb)), length(nb), nV);
Bcons = [zeros(length(b), ); ones(nsrc, )];
% 硬约束
r = setdiff([:nV], nb);
uD = [A(r,:);Acons]\[B(r,:);Bcons];
% 1.2 neumann condition
Acons = sparse([:nsrc], src, ones(,nsrc), nsrc, nV);
Bcons = ones(nsrc, );
% 硬约束
r = setdiff([:nV], src);
uN = [A(r,:);Acons]\[B(r,:);Bcons];
% averaged boundary condition
u = 0.5*(uN + uD);
%% Step : Evaluate the vector field X
G = grad(V, F); % nF* by nV matrix(梯度算子 - 所有三角片顶点基函数)
grad_u = reshape(G*u, size(F,), ); % nF by nV matrix(所有三角片中u的梯度)
grad_u_norm = sqrt(sum(grad_u.^, ));
normalized_grad_u = bsxfun(@rdivide, grad_u, grad_u_norm+eps);
X = -normalized_grad_u;
%% Step : Solve the Poisson equation
Div = div(V, F); % 散度算子
div_X = Div*X(:); % #nV by #nF*
Lcons = sparse([:nsrc], src, ones(,nsrc), nsrc, nV);
div_Xcons = zeros(nsrc, );
% 硬约束
r = setdiff([:nV], src);
D = [L(r,:);Lcons]\[div_X(r,:);div_Xcons];
D = D - min(D);
end
效果：
参考文献：
[1] Keenan Crane, Clarisse Weischedel, and Max Wardetzky. 2013. Geodesics in heat: A new approach to computing distance based on heat flow. ACM Trans. Graph. 32, 5, Article 152 (October 2013), 11 pages.
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