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一、考点讲解
1.递推公式
a n 与 a n + 1 或 a n − 1 a_n与a_{n+1}或a_{n-1} an与an+1或an−1的关系式称为递推公式,若已知数列的递推关系式及首项,可以写出其他项,因此递推公式是确定数列的一种重要方式。
2.递推公式的常用思路
(1)列举法
一般通过递推公式找到前几个元素数值的规律,来判断后面元素的数值.先列举前面若干项,寻找规律,一般是周期循环的规律。
(2)累加法
写出若干项,然后将各项相加。
(3)累乘法
写出若干项,然后将各项相乘。
(4)构造数列
将某部分看成一个新数列,新数列是符合等差或等比数列,求出新数列后,再求原数列。
二、考试解读
(1)递推公式是数列的难点,容易出错,要根据不同形式来选择不同的方法求解。
(2)递推数列的核心是构造新数列求解。
(3)考试频率级别:高。
三、命题方向
考向1:列举找规律法
思路:先列举前面若干项,寻找规律,一般是周期循环的规律。
考向2:类等差数列
思路:对于形如 a n + 1 = a n + f ( n ) 或 a n + 1 − a n = f ( n ) a_{n+1}=a_n+f(n)或a_{n+1}-a_n=f(n) an+1=an+f(n)或an+1−an=f(n),称为类等差数列,可以写出若干项,再相加求解。
考向3:类等比数列
思路:对于形如 a n + 1 = a n ⋅ f ( n ) 或 a n + 1 a n = f ( n ) a_{n+1}=a_n·f(n)或\frac{a_{n+1}}{a_n}=f(n) an+1=an⋅f(n)或anan+1=f(n),称为类等比数列,可以写出若干项,再相乘求解。
考向4:构造等差数列
思路:将某部分看成整体,构造新数列{ b n b_n bn},若新数列满足 b n + 1 − b n = 常数 b_{n+1}-b_n=常数 bn+1−bn=常数,则看成等差数列分析。
考向5:构造等比数列
思路:将某部分看成整体,构造新数列 { b n b_n bn},若新数列满足 b n + 1 b n = 常数 \frac{b_{n+1}}{b_n}=常数 bnbn+1=常数,则看成等比数列分析。尤其形如 a n + 1 = q a n + d a_{n+1} =qa_n+d an+1=qan+d形式的数列,通过拆分常数,变成 a n + 1 + c = q ( a n + c ) a_{n+1}+c=q( a_n+c) an+1+c=q(an+c)的形式,再构造等比数列求解.其中 c = d q − 1 c=\frac{d}{q-1} c=q−1d。
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考向1:类等差数列
思路:当看到 a n + 1 − a n = f ( n ) a_{n+1}-a_n=f(n) an+1−an=f(n)时,可以直接利用累加法求解。
考向2:类等比数列
思路:当看到 a n + 1 ÷ a n = f ( n ) a_{n+1}÷an=f(n) an+1÷an=f(n)时,可以直接利用累乘法求解。
考向3:构造等差数列
思路:
结论(1),当看到 a n + 1 = a n c a n + 1 a_{n+1}=\frac{a_n}{ca_n+1} an+1=can+1an,那么{ 1 a n \frac{1}{a_n} an1}为等差数列;
结论(2),当看到 a n + 1 = q a n + q n a_{n+1}=qa_n+q^n an+1=qan+qn,两边同时除以 q n + 1 q^{n+1} qn+1来构造等差数列。
考向4:构造等比数列
思路:
结论(1):当看到 a n + 1 = q a n + c a_{n+1}= qa_n+c an+1=qan+c时,转化为 a n + 1 + k = q ( a n + k ) a_{n+1}+k=q(a_n+k) an+1+k=q(an+k),其中 k = c q − 1 k=\frac{c}{q-1} k=q−1c,构造等比数列即可。
结论(2):当看到 a n + 1 = A a n + B n + C a_{n+1}=Aa_n+Bn+C an+1=Aan+Bn+C型,可化成 a n + 1 + p ( n + 1 ) + q = A ( a n + p n + q ) a_{n+1}+p(n+1)+q=A(a_n+pn+q) an+1+p(n+1)+q=A(an+pn+q)的形式来求通项。
考向5:取对数数列
思路:形如 a n + 1 = p a n r ( p > 0 , a n > 0 ) a_{n+1}=pa_n^r(p > 0,a_n> 0) an+1=panr(p>0,an>0),这种类型一般是等式两边取对数后转化为 l g a n + 1 = r l g a n + l g p lga_{n+1}=rlga_n+ lgp lgan+1=rlgan+lgp,再利用构造等比数列求解。