保研线性代数机器学习基础复习2

发布于：2024-03-29 ⋅ 阅读:(26) ⋅ 点赞:(0)

1.什么是群（Group）？

对于一个集合 G 以及集合上的操作 $\bigotimes$ ，如果G $\bigotimes$ G-> G，那么称（G， $\bigotimes$ ）为一个群，并且满足如下性质：

封闭性：
结合性：
中性元素：
逆元素：

2.什么是阿贝尔群（Abelian group）？

满足交换（commutative）特征的群，称为阿贝尔群。

3.（ $R^n$ ，+）和（ $Z^n$ ，+）是阿贝尔群吗？说明理由。

满足封闭性：
满足结合性
中性元素是：
逆元素是：
满足交换性

4.（ $R^{(m\times n)}$ ，+）是阿贝尔群吗？

是

5.什么是一般线性群（general linear group）？

讨论（ $R^{n*n}$ ，*）可逆/正则/非奇异方阵以及关于方阵的multiply的操作，是群，但是不是阿贝尔群，因为矩阵乘法不满足交换性。

封闭性和结合性同一般矩阵 $R^{m*n}$
中性元素：单位矩阵 $I_n$
逆元素：对于任意矩阵其逆元素是它的逆矩阵

6.什么是实数向量空间/线性空间（vector space）？

对于向量空间V=（V，+，*）拥有两种操作：

+：V操作V得到V （是向量的add操作，每两个向量的逐个元素相加）
*：实数R操作V得到V （是标量乘法scale操作，用向量乘以标量）

同时满足下列条件：

（V，+）是一个阿贝尔群
分配性：
结合性：
中性元素：1（对于*，因为+是阿贝尔群）

7.举例一些常见的线性空间？

n维向量空间

m行n列矩阵

复数域可以看做是实数域上的线性空间

8.什么是向量子空间（Vector Subspace）？

如果向量空间 $V=(V,+,*)$ ，并且 $U\subseteq V,U\neq \varnothing$ ，并且U也是满足add和scale的向量空间。

例如齐次线性方程组的解 $x=[x_1,...,x_n]^T$ 是Rn的向量子空间，但是非齐次线性方程组

的解就不是Rn的子空间。任何一个Rn的子空间都是齐次线性方程组的解。

9.什么是线性组合（Linear Combination）？

首先考虑向量空间V， $x_1,...x_k\in V$ ， $v\in V$ ，有称 $\lambda _1,...\lambda_k$ 是向量 $x_1,...x_k$ 的线性组合。

10.什么是线性无关（Linear Independent）？

考虑一个向量空间V，其中，如果存在线性组合满足，其中至少一个λ!=0，那么说明 $x_1,...x_k$ 线性相关（Linear dependent），但是如果仅仅存在所有 $\lambda_1,...,\lambda_k=0$ ，那么说明 $x_1,...x_k$ 线性无关（Linear Independent）。

11.寻找线性无关向量的方法？

首先要确定的是k个向量要么线性无关，要么线性相关，不可能存在第三种情况
如果至少一个向量 $x_1,...x_k$ 是0向量，那么他们一定线性相关。如果两个向量，并且他们相同，那么也一定线性相关。
如果其中一个向量xi是另一个向量xj的倍数，或者其中一个向量x可以由其他向量线性表示
使用高斯消元法对 $x_1,..,x_k$ 进行消元，初等变换成列向量之后，如果所有列向量都是pivot column，那么这k个线性无关，如果存在至少一个non-pivot column，那么说明这k个列向量线性相关。

12.如果m>k，那么x1，...，xm线性相关

本文含有隐藏内容，请开通VIP 后查看