1、排序算法
排序算法（sorting algorithm）用于对一组数据按照特定顺序进行排列。排序算法有着广泛的应用，因为有序数据通常能够被更高效地查找、分析和处理。
1.1 评价维度
运行效率：我们期望排序算法的时间复杂度尽量低，且总体操作数量较少（时间复杂度中的常数项变小）。对于大数据量的情况，运行效率显得尤为重要。
就地性：顾名思义，原地排序通过在原数组上直接操作实现排序，无须借助额外的辅助数组，从而节省内存。通常情况下，原地排序的数据搬运操作较少，运行速度也更快。
稳定性：稳定排序在完成排序后，相等元素在数组中的相对顺序不发生改变。
稳定排序是多级排序场景的必要条件。假设我们有一个存储学生信息的表格，第 1 列和第 2 列分别是姓名和年龄。在这种情况下，非稳定排序可能导致输入数据的有序性丧失：
//输入数据是按照姓名排序好的
// (name, age)
('A', 19)
('B', 18)
('C', 21)
('D', 19)
('E', 23)
//假设使用非稳定排序算法按年龄排序列表，
//结果中 ('D', 19) 和 ('A', 19) 的相对位置改变，
//输入数据按姓名排序的性质丢失
('B', 18)
('D', 19)
('A', 19)
('C', 21)
('E', 23)
自适应性：自适应排序的时间复杂度会受输入数据的影响，即最佳时间复杂度、最差时间复杂度、平均时间复杂度并不完全相等。
自适应性需要根据具体情况来评估。如果最差时间复杂度差于平均时间复杂度，说明排序算法在某些数据下性能可能劣化，因此被视为负面属性；而如果最佳时间复杂度优于平均时间复杂度，则被视为正面属性。
是否基于比较：基于比较的排序依赖比较运算符来判断元素的相对顺序，从而排序整个数组，理论最优时间复杂度为 O(nlogn) 。而非比较排序不使用比较运算符，时间复杂度可达 O(n)，但其通用性相对较差。
1.2 理想排序算法
运行快、原地、稳定、正向自适应、通用性好。显然，迄今为止尚未发现兼具以上所有特性的排序算法。因此，在选择排序算法时，需要根据具体的数据特点和问题需求来决定。接下来，我们将共同学习各种排序算法，并基于上述评价维度对各个排序算法的优缺点进行分析。
2、排序算法类别
2.1 选择排序
选择排序（selection sort）的工作原理非常简单：开启一个循环，每轮从未排序区间选择最小的元素，将其放到已排序区间的末尾。时间复杂度为 O(n²)，空间复杂度为O(1)。
设数组的长度为 n，选择排序的算法流程如下所示：
1）初始状态下，所有元素未排序，即未排序（索引）区间为[0,n-1] 。
2）选取区间 [0,n-1] 中的最小元素，将其与索引 0处的元素交换。完成后，数组前 1 个元素已排序。
3）选取区间[1,n-1] 中的最小元素，将其与索引 1处的元素交换。完成后，数组前 2 个元素已排序。
4）以此类推。经过 n-1轮选择与交换后，数组前 n-1个元素已排序。
5）仅剩的一个元素必定是最大元素，无须排序，因此数组排序完成。
/* 选择排序 */
void selectionSort(vector<int> &nums) {
int n = nums.size();
// 外循环：未排序区间为 [i, n-1]
for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
// 内循环：找到未排序区间内的最小元素
int k = i;
for (int j = i + 1; j < n; j++) {
if (nums[j] < nums[k])
k = j; // 记录最小元素的索引
}
// 将该最小元素与未排序区间的首个元素交换
swap(nums[i], nums[k]);
}
}
2.2 冒泡排序
冒泡排序（bubble sort）通过连续地比较与交换相邻元素实现排序。这个过程就像气泡从底部升到顶部一样，因此得名冒泡排序。时间复杂度为 O(n²)，但当输入数组完全有序时，可达到最佳时间复杂度 O(n)，空间复杂度为O(1)。
设数组的长度为 n，冒泡排序的算法流程如下所示：
1）首先，对 n 个元素执行“冒泡”，将数组的最大元素交换至正确位置 。
2）接下来，对剩余 n-1个元素执行“冒泡”，将第二大元素交换至正确位置。
3）以此类推，经过 n-1轮“冒泡”后，前 n-1 大的元素都被交换至正确位置。
4）仅剩的一个元素必定是最小元素，无须排序，因此数组排序完成。
/* 冒泡排序（标志优化）*/
void bubbleSortWithFlag(vector<int> &nums) {
// 外循环：未排序区间为 [0, i]
for (int i = nums.size() - 1; i > 0; i--) {
bool flag = false; // 初始化标志位
// 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端
for (int j = 0; j < i; j++) {
if (nums[j] > nums[j + 1]) {
// 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
// 这里使用了 std::swap() 函数
swap(nums[j], nums[j + 1]);
flag = true; // 记录交换元素
}
}
if (!flag)
break; // 此轮“冒泡”未交换任何元素，直接跳出
}
}
2.3 插入排序
插入排序（insertion sort）是一种简单的排序算法，它的工作原理与手动整理一副牌的过程非常相似。具体来说，我们在未排序区间选择一个基准元素，将该元素与其左侧已排序区间的元素逐一比较大小，并将该元素插入到正确的位置。时间复杂度为 O(n²)，但当输入数组完全有序时，可达到最佳时间复杂度 O(n)，空间复杂度为O(1)。
实际上，许多编程语言（例如 Java）的内置排序函数采用了插入排序，大致思路为：对于长数组，采用基于分治策略的排序算法，例如快速排序；对于短数组，直接使用插入排序。
设数组的长度为 n，插入排序的算法流程如下所示：
1）初始状态下，数组的第 1 个元素已完成排序。
2）选取数组的第 2 个元素作为 base ，将其插入到正确位置后，数组的前 2 个元素已排序。
3）选取第 3 个元素作为 base ，将其插入到正确位置后，数组的前 3 个元素已排序。
4）以此类推，在最后一轮中，选取最后一个元素作为 base ，将其插入到正确位置后，所有元素均已排序。
/* 插入排序 */
void insertionSort(vector<int> &nums) {
// 外循环：已排序区间为 [0, i-1]
for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
int base = nums[i], j = i - 1;
// 内循环：将 base 插入到已排序区间 [0, i-1] 中的正确位置
while (j >= 0 && nums[j] > base) {
nums[j + 1] = nums[j]; // 将 nums[j] 向右移动一位
j--;
}
nums[j + 1] = base; // 将 base 赋值到正确位置
}
}
2.4 快速排序
快速排序（quick sort）是一种基于分治策略的排序算法，运行高效，应用广泛。快速排序的核心操作是“哨兵划分”，其目标是：选择数组中的某个元素作为“基准数”，将所有小于基准数的元素移到其左侧，而大于基准数的元素移到其右侧。时间复杂度为 O(nlogn)，空间复杂度为O(n)。
快速排序为什么快? 从名称上就能看出，快速排序在效率方面应该具有一定的优势。尽管快速排序的平均时间复杂度与“归并排序”和“堆排序”相同，但通常快速排序的效率更高，主要有以下原因。
- 出现最差情况的概率很低：虽然快速排序的最差时间复杂度为 O(n²)，没有归并排序稳定，但在绝大多数情况下，快速排序能在 O(nlogn) 的时间复杂度下运行。
- 缓存使用效率高：在执行哨兵划分操作时，系统可将整个子数组加载到缓存，因此访问元素的效率较高。而像“堆排序”这类算法需要跳跃式访问元素，从而缺乏这一特性。
- 复杂度的常数系数小：在上述三种算法中，快速排序的比较、赋值、交换等操作的总数量最少。这与“插入排序”比“冒泡排序”更快的原因类似。
设数组的长度为 n，快速排序的算法流程如下所示：
1）首先，对原数组执行一次“哨兵划分”，得到未排序的左子数组和右子数组。
2）然后，对左子数组和右子数组分别递归执行“哨兵划分”。
3）持续递归，直至子数组长度为 1 时终止，从而完成整个数组的排序。
/* 选取三个候选元素的中位数 */
int medianThree(vector<int> &nums, int left, int mid, int right) {
int l = nums[left], m = nums[mid], r = nums[right];
if ((l <= m && m <= r) || (r <= m && m <= l))
return mid; // m 在 l 和 r 之间
if ((m <= l && l <= r) || (r <= l && l <= m))
return left; // l 在 m 和 r 之间
return right;
}
/* 哨兵划分（三数取中值） */
int partition(vector<int> &nums, int left, int right) {
// 选取三个候选元素的中位数
int med = medianThree(nums, left, (left + right) / 2, right);
// 将中位数交换至数组最左端
swap(nums, left, med);
// 以 nums[left] 为基准数
int i = left, j = right;
while (i < j) {
while (i < j && nums[j] >= nums[left])
j--; // 从右向左找首个小于基准数的元素
while (i < j && nums[i] <= nums[left])
i++; // 从左向右找首个大于基准数的元素
swap(nums, i, j); // 交换这两个元素
}
swap(nums, i, left); // 将基准数交换至两子数组的分界线
return i; // 返回基准数的索引
}
/* 快速排序（尾递归优化） */
void quickSort(vector<int> &nums, int left, int right) {
// 子数组长度为 1 时终止
while (left < right) {
// 哨兵划分操作
int pivot = partition(nums, left, right);
// 对两个子数组中较短的那个执行快速排序
if (pivot - left < right - pivot) {
quickSort(nums, left, pivot - 1); // 递归排序左子数组
left = pivot + 1; // 剩余未排序区间为 [pivot + 1, right]
} else {
quickSort(nums, pivot + 1, right); // 递归排序右子数组
right = pivot - 1; // 剩余未排序区间为 [left, pivot - 1]
}
}
}
2.5 归并排序
归并排序（merge sort）是一种基于分治策略的排序算法，包含图 11-10 所示的“划分”和“合并”阶段。划分阶段：通过递归不断地将数组从中点处分开，将长数组的排序问题转换为短数组的排序问题。合并阶段：当子数组长度为 1 时终止划分，开始合并，持续地将左右两个较短的有序数组合并为一个较长的有序数组，直至结束。时间复杂度为 O(nlogn)，空间复杂度为O(n)。
划分阶段”从顶至底递归地将数组从中点切分为两个子数组：
1）计算数组中点 mid ，递归划分左子数组（区间[left, mid]）和右子数组（区间[mid+1, right] ）。
2）递归执行步骤 1. ，直至子数组区间长度为 1 时终止。
合并阶段”从底至顶地将左子数组和右子数组合并为一个有序数组。需要注意的是，从长度为 1 的子数组开始合并，合并阶段中的每个子数组都是有序的。
/* 合并左子数组和右子数组 */
void merge(vector<int> &nums, int left, int mid, int right) {
// 左子数组区间为 [left, mid], 右子数组区间为 [mid+1, right]
// 创建一个临时数组 tmp ，用于存放合并后的结果
vector<int> tmp(right - left + 1);
// 初始化左子数组和右子数组的起始索引
int i = left, j = mid + 1, k = 0;
// 当左右子数组都还有元素时，进行比较并将较小的元素复制到临时数组中
while (i <= mid && j <= right) {
if (nums[i] <= nums[j])
tmp[k++] = nums[i++];
else
tmp[k++] = nums[j++];
}
// 将左子数组和右子数组的剩余元素复制到临时数组中
while (i <= mid) {
tmp[k++] = nums[i++];
}
while (j <= right) {
tmp[k++] = nums[j++];
}
// 将临时数组 tmp 中的元素复制回原数组 nums 的对应区间
for (k = 0; k < tmp.size(); k++) {
nums[left + k] = tmp[k];
}
}
/* 归并排序 */
void mergeSort(vector<int> &nums, int left, int right) {
// 终止条件
if (left >= right)
return; // 当子数组长度为 1 时终止递归
// 划分阶段
int mid = (left + right) / 2; // 计算中点
mergeSort(nums, left, mid); // 递归左子数组
mergeSort(nums, mid + 1, right); // 递归右子数组
// 合并阶段
merge(nums, left, mid, right);
}
2.6 堆排序
堆排序（heap sort）是一种基于堆数据结构实现的高效排序算法。我们可以利用已经学过的“建堆操作”和“元素出堆操作”实现堆排序。时间复杂度为 O(n²)，但当输入数组完全有序时，可达到最佳时间复杂度 O(n)，空间复杂度为O(1)。
设数组的长度为 n，堆排序的算法流程如下所示：
1）输入数组并建立大顶堆。完成后，最大元素位于堆顶。
2）将堆顶元素(第一个元素)与堆底元素(最后一个元素)交换。完成交换后，堆的长度减 1，已排序元素数量加1 。
3）从堆顶元素开始，从顶到底执行堆化操作（sift down）。完成堆化后，堆的性质得到修复。
4）循环执行第 2. 步和第 3. 步。循环 n-1轮后，即可完成数组排序。
/* 堆的长度为 n ，从节点 i 开始，从顶至底堆化 */
void siftDown(vector<int> &nums, int n, int i) {
while (true) {
// 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
int l = 2 * i + 1;
int r = 2 * i + 2;
int ma = i;
if (l < n && nums[l] > nums[ma])
ma = l;
if (r < n && nums[r] > nums[ma])
ma = r;
// 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无须继续堆化，跳出
if (ma == i) {
break;
}
// 交换两节点
swap(nums[i], nums[ma]);
// 循环向下堆化
i = ma;
}
}
/* 堆排序 */
void heapSort(vector<int> &nums) {
// 建堆操作：堆化除叶节点以外的其他所有节点
for (int i = nums.size() / 2 - 1; i >= 0; --i) {
siftDown(nums, nums.size(), i);
}
// 从堆中提取最大元素，循环 n-1 轮
for (int i = nums.size() - 1; i > 0; --i) {
// 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
swap(nums[0], nums[i]);
// 以根节点为起点，从顶至底进行堆化
siftDown(nums, i, 0);
}
}
2.7 桶排序
桶排序（bucket sort）是分治策略的一个典型应用。它通过设置一些具有大小顺序的桶，每个桶对应一个数据范围，将数据平均分配到各个桶中；然后，在每个桶内部分别执行排序；最终按照桶的顺序将所有数据合并。时间复杂度为 O(n+k)，空间复杂度为O(n+k)。
考虑一个长度为 n的数组，其元素是范围 [0,1)内的浮点数，桶排序的算法流程如下所示：
1）初始化 k个桶，将 n个元素分配到 k 个桶中。
2）对每个桶分别执行排序（这里采用编程语言的内置排序函数） 。
3）按照桶从小到大的顺序合并结果。
/* 桶排序 */
void bucketSort(vector<float> &nums) {
// 初始化 k = n/2 个桶，预期向每个桶分配 2 个元素
int k = nums.size() / 2;
vector<vector<float>> buckets(k);
// 1. 将数组元素分配到各个桶中
for (float num : nums) {
// 输入数据范围为 [0, 1)，使用 num * k 映射到索引范围 [0, k-1]
int i = num * k;
// 将 num 添加进桶 bucket_idx
buckets[i].push_back(num);
}
// 2. 对各个桶执行排序
for (vector<float> &bucket : buckets) {
// 使用内置排序函数，也可以替换成其他排序算法
sort(bucket.begin(), bucket.end());
}
// 3. 遍历桶合并结果
int i = 0;
for (vector<float> &bucket : buckets) {
for (float num : bucket) {
nums[i++] = num;
}
}
}
2.8 计数排序
计数排序（counting sort）通过统计元素数量来实现排序，通常应用于整数数组。时间复杂度为 O(n+m)，空间复杂度为O(n+m)。
给定一个长度为 n的数组 nums ，其中的元素都是“非负整数”，计数排序的算法流程如下所示：
1）遍历数组，找出其中的最大数字，记为 m，然后创建一个长度为 m+1的辅助数组counter 。
2）借助 counter 统计 nums 中各数字的出现次数，其中 counter[num] 对应数字 num 的出现次数。统计方法很简单，只需遍历 nums（设当前数字为 num），每轮将 counter[num] 增加 1
即可 。
3）由于 counter 的各个索引天然有序，因此相当于所有数字已经排序好了。接下来，我们遍历 counter ，根据各数字出现次数从小到大的顺序填入 nums 即可。
/* 计数排序 */
// 简单实现，无法用于排序对象
void countingSortNaive(vector<int> &nums) {
// 1. 统计数组最大元素 m
int m = 0;
for (int num : nums) {
m = max(m, num);
}
// 2. 统计各数字的出现次数
// counter[num] 代表 num 的出现次数
vector<int> counter(m + 1, 0);
for (int num : nums) {
counter[num]++;
}
// 3. 遍历 counter ，将各元素填入原数组 nums
int i = 0;
for (int num = 0; num < m + 1; num++) {
for (int j = 0; j < counter[num]; j++, i++) {
nums[i] = num;
}
}
}
计数排序只适用于非负整数。若想将其用于其他类型的数据，需要确保这些数据可以转换为非负整数，并且在转换过程中不能改变各个元素之间的相对大小关系。例如，对于包含负数的整数数组，可以先给所有数字加上一个常数，将全部数字转化为正数，排序完成后再转换回去。
计数排序适用于数据量大但数据范围较小的情况。比如，在上述示例中 m不能太大，否则会占用过多空间。而当 n<<m 时，计数排序使用O(m) 时间，可能比O(nlogn) 的排序算法还要慢。
2.9 基数排序
基数排序（radix sort）的核心思想与计数排序一致，也通过统计个数来实现排序。在此基础上，基数排序利用数字各位之间的递进关系，依次对每一位进行排序，从而得到最终的排序结果。时间复杂度为 O(nk)，空间复杂度为O(n+d)。
以学号数据为例，假设数字的最低位是第1位，最高位是第8位，基数排序的算法流程如下所示：
1）初始化位数 k=1。
2）对学号的第k位执行“计数排序”。完成后，数据会根据第k位从小到大排序 。
3）将k增加 1，然后返回步骤 2. 继续迭代，直到所有位都排序完成后结束。
/* 获取元素 num 的第 k 位，其中 exp = 10^(k-1) */
int digit(int num, int exp) {
// 传入 exp 而非 k 可以避免在此重复执行昂贵的次方计算
return (num / exp) % 10;
}
/* 计数排序（根据 nums 第 k 位排序） */
void countingSortDigit(vector<int> &nums, int exp) {
// 十进制的位范围为 0~9 ，因此需要长度为 10 的桶数组
vector<int> counter(10, 0);
int n = nums.size();
// 统计 0~9 各数字的出现次数
for (int i = 0; i < n; i++) {
int d = digit(nums[i], exp); // 获取 nums[i] 第 k 位，记为 d
counter[d]++; // 统计数字 d 的出现次数
}
// 求前缀和，将“出现个数”转换为“数组索引”
for (int i = 1; i < 10; i++) {
counter[i] += counter[i - 1];
}
// 倒序遍历，根据桶内统计结果，将各元素填入 res
vector<int> res(n, 0);
for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
int d = digit(nums[i], exp);
int j = counter[d] - 1; // 获取 d 在数组中的索引 j
res[j] = nums[i]; // 将当前元素填入索引 j
counter[d]--; // 将 d 的数量减 1
}
// 使用结果覆盖原数组 nums
for (int i = 0; i < n; i++)
nums[i] = res[i];
}
/* 基数排序 */
void radixSort(vector<int> &nums) {
// 获取数组的最大元素，用于判断最大位数
int m = *max_element(nums.begin(), nums.end());
// 按照从低位到高位的顺序遍历
for (int exp = 1; exp <= m; exp *= 10)
// 对数组元素的第 k 位执行计数排序
// k = 1 -> exp = 1
// k = 2 -> exp = 10
// 即 exp = 10^(k-1)
countingSortDigit(nums, exp);
}
相较于计数排序，基数排序适用于数值范围较大的情况，但前提是数据必须可以表示为固定位数的格式，且位数不能过大。例如，浮点数不适合使用基数排序，因为其位数 过大，可能导致时间复杂度大于 O(n²)。
3、总结
