「网络流 24 题」太空飞行计划 【最大权值闭合图】

「网络流 24 题」太空飞行计划

题意

有 $n$ 个实验 和 $m$ 个器械，每个实验都需要若干个指定的器械才能进行

实验 $i$ 的盈利为 $p_i$， 器械 $j$ 的花销为 $c_j$

找出纯利润最大的实验计划

思路

这是非常典型的最大权值闭合图的题型

可以在 OI WIKI 学习

我们将实验和器械都建模成点，对于实验 $i$ 所需要的所有器械 $j$，我们连边 $i\to j$，边权为 $\infty$
同时对于实验 $i$，由于其盈利为正，相当于点权为正，那么连边：$s\to i$
对于器械 $j$，花销相当于负点权，我们连边：$j\to t$

正常地跑最大流最小割，答案就是正点权之和减去最小割

// Problem: #6001. 「网络流 24 题」太空飞行计划
// Contest: LibreOJ
// URL: https://loj.ac/p/6001
// Memory Limit: 256 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include<bits/stdc++.h>
#define fore(i,l,r)	for(int i=(int)(l);i<(int)(r);++i)
#define fi first
#define se second
#define endl '\n' 
#define ull unsigned long long

const int INF=0x3f3f3f3f;
// const long long INFLL=0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;

typedef long long ll;

constexpr int inf = 1E9;

template<class T>
struct Dinic {
    struct _Edge {
        int to;
        T cap;
        _Edge(int to, T cap) : to(to), cap(cap) {}
    };
    
    int n; //点的数量，编号从 1 开始
    std::vector<_Edge> e; //链式前向星
    std::vector<std::vector<int>> g; //起到链式前向星nxt的作用
    std::vector<int> cur; //当前弧优化
    std::vector<int> h; //深度
    
    Dinic() {}
    Dinic(int n) {
        init(n);
    }
    
    void init(int n) {
        this->n = n;
        e.clear();
        g.assign(n + 1, {});
        cur.resize(n + 1);
        h.resize(n + 1);
    }
    
    bool bfs(int s, int t) { //构造分层图
        h.assign(n + 1, -1);
        std::queue<int> que;
        h[s] = 0;
        que.push(s);
        while (!que.empty()) {
            const int u = que.front();
            que.pop();
            for (int i : g[u]) {
                auto [v, c] = e[i];
                if (c > 0 && h[v] == -1) { //下一层有容量的邻居
                    h[v] = h[u] + 1;
                    if (v == t) {
                        return true;
                    }
                    que.push(v);
                }
            }
        }
        return false;
    }
    
    T dfs(int u, int t, T f) {
        if (u == t) {
            return f;
        }
        auto r = f;
        for (int &i = cur[u]; i < int(g[u].size()); ++i) {
            const int j = g[u][i];
            auto [v, c] = e[j];
            if (c > 0 && h[v] == h[u] + 1) {
                auto a = dfs(v, t, std::min(r, c));
                e[j].cap -= a;
                e[j ^ 1].cap += a;
                r -= a; //r是剩余可用流量
                if (r == 0) {
                    return f;  //如果r用完，说明f跑满了
                }
            }
        }
        return f - r; //否则f-r就是已用流量
    }
    void addEdge(int u, int v, T c) {
        g[u].push_back(e.size()); //记录在e中的下标
        e.emplace_back(v, c);
        g[v].push_back(e.size()); //反向边
        e.emplace_back(u, 0);
    }
    T flow(int s, int t) {
        T ans = 0;
        while (bfs(s, t)) {
            cur.assign(n + 1, 0); //当前弧初始化
            ans += dfs(s, t, std::numeric_limits<T>::max());
        }
        return ans;
    }
    
    std::vector<bool> minCut() { //最小割
        std::vector<bool> c(n + 1);
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            c[i] = (h[i] != -1);
        }
        return c;
    }
    
    struct Edge {
        int from;
        int to;
        T cap;
        T flow;
    };
    std::vector<Edge> edges() {
        std::vector<Edge> a;
        for (int i = 0; i < e.size(); i += 2) {
            Edge x;
            x.from = e[i + 1].to;
            x.to = e[i].to;
            x.cap = e[i].cap + e[i + 1].cap;
            x.flow = e[i + 1].cap;
            a.push_back(x);
        }
        return a;
    }
};

int main(){
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(nullptr);
    std::cout.tie(nullptr);
    int n, m;
    std::string s;
	std::getline(std::cin, s);
	std::stringstream ss(s);
    ss >> n >> m;
    Dinic<int> dinic(n + m + 2);
    int S = n + m + 1, T = S + 1;
    int sum = 0;
    fore(i, 1, n + 1){
    	std::string s;
    	std::getline(std::cin, s);
    	std::stringstream ss(s);
    	int w;
    	ss >> w;
    	sum += w;
		dinic.addEdge(S, i, w);
		int v;
		while(ss >> v){
			dinic.addEdge(i, v + n, std::numeric_limits<int>::max());
		}
    }
    
    fore(v, 1, m + 1){
    	int w;
    	std::cin >> w;
    	dinic.addEdge(v + n, T, w);
    }
    
    int ans = sum - dinic.flow(S, T);
   	auto c = dinic.minCut();
   	std::vector<int> test, eqt;
   	fore(i, 1, n + 1)
   		if(c[i]) //位于集合 S
   			std::cout << i << ' ';
   	std::cout << endl;
   	fore(i, 1, m + 1)
   		if(c[i + n]) //位于集合 S
   			std::cout << i << ' ';
	std::cout << endl;
   	
   	std::cout << ans;
    
	return 0; 
}