这个公式是cross product的的identity under matrix transformations:
( M x ) × ( M y ) = M ∗ ( x × y ) \left( Mx \right) \times \left( My \right) =M^*\left( x\times y \right) (Mx)×(My)=M∗(x×y)
M ∗ M^* M∗为M的伴随矩阵
下面这个证明方法是借鉴了Cross product: matrix transformation identity
再复述一遍
对于所有的z
( ∣ M ∣ ( x × y ) ) T z = ∣ M ∣ ⋅ ∣ [ x y z ] ∣ = ∣ [ M x M y M z ] ∣ = ( M x × M y ) T M z \left( |M|\left( x\times y \right) \right) ^Tz \\ =|M|\cdot |\left[ x\,\,y\,\,z \right] | \\ =|\left[ Mx\,\,My\,\,Mz \right] | \\ =\left( Mx\times My \right) ^TMz (∣M∣(x×y))Tz=∣M∣⋅∣[xyz]∣=∣[MxMyMz]∣=(Mx×My)TMz
因此有
( ∣ M ∣ ( x × y ) ) T = ( M x × M y ) T M ∣ M ∣ ( x × y ) = M T ( M x × M y ) M x × M y = ∣ M ∣ M − T ( x × y ) M x × M y = M ∗ ( x × y ) \left( |M|\left( x\times y \right) \right) ^T=\left( Mx\times My \right) ^TM \\ |M|\left( x\times y \right) =M^T\left( Mx\times My \right) \\ Mx\times My=|M|M^{-T}\left( x\times y \right) \\ Mx\times My=M^*\left( x\times y \right) (∣M∣(x×y))T=(Mx×My)TM∣M∣(x×y)=MT(Mx×My)Mx×My=∣M∣M−T(x×y)Mx×My=M∗(x×y)
其中用到了几个性质
( x × y ) ⋅ z = ∣ [ x y z ] ∣ \left( x\times y \right) \cdot z=|\left[ x\,\,y\,\,z \right] | (x×y)⋅z=∣[xyz]∣
还有
∣ A B ∣ = ∣ A ∣ ⋅ ∣ B ∣ |AB|=|A|\cdot |B| ∣AB∣=∣A∣⋅∣B∣
其中矩阵乘积的determinant的证明可以参考这个证明网站
主要就是利用了行初等变换，将A, B变换成一个上三角矩阵，而行初等变换对于determinant的效果，相当于乘以了一个常数。