数字信号处理第一章复习笔记（第五版）

发布于：2024-06-26 ⋅ 阅读:(16) ⋅ 点赞:(0)

一、常用典型序列

1. 单位脉冲序列 $\delta (n)$

$\delta (n)$ 只在n等于0时取确定值1，其他时刻均为0；
$\delta (n-m)$ 只有在n=m时取确定值1，其他时刻均为0；

2. 单位阶跃序列 $\mu (n)$

$\mu (n)$ 类似于 $\mu (t)$ , $\mu (t)$ 在t=0时常不被定义；
$\mu (n)$ 在n=0时为 $\mu (0)=1$ ;
$\delta (n)$ 和 $\mu (n)$ 的关系： $\delta (n)=\mu (n)-\mu (n-1)$ ;
$\mu (n)=\sum_{k=0 }^{+\infty }\delta (n-k)=\sum_{k=-\infty }^{n}\delta (k)$

3. 矩形序列 $R_{N}(n)$

N为矩形序列的长度；
和 $\mu (n)$ 、 $\delta (n)$ 的关系： $R_{N} (n)=\mu (n)-\mu (n-N)$ $R_{N}(n)=\sum_{m=0}^{n}\delta (n-m)$

4. 实指数序列

$x(n)=a^{n}\mu (n)$ a为实数

当 $\left | a \right |< 1$ 时序列收敛；当 $\left | a \right |> 1$ 时序列发散；

5. 复指数序列

$x(n)=e^{(\delta +jw)n}$ w 为数字域频域；

只考虑频率令 $\delta =0$ ，序列w呈现以 $2\pi$ 为周期的周期性；

6. 正弦序列

$x(n)=Asin(wn+\vartheta )$

A为幅度，w为数字域频域， $\vartheta$ 为起始相位

数字频率w与模拟角频率 $\Omega$ 之间关系为： $\omega =\Omega T$ ;
采样频率 $F_{s}$ 与采样周期T互为倒数，则有： $\omega =\frac{\Omega }{F_{s}}$

7. 周期序列

（1）对于序列x(n),如果对于所有n存在一个最小的正整数N，对任意整数m满足： $x(n)=x(n+mN)$ 则序列x(n)是周期序列，最小周期值为N;

（2）正弦序列的三种情况：

当 $2\pi /\omega$ 为整数时，k=1，正弦序列是以 $2\pi /\omega _{0}$ 为周期的序列；例如,序列 $x(n)=5sin(\frac{\pi }{4}n+3)$ 中 $2\pi /\omega=8$ ，所以是周期为8的周期序列；
当 $2\pi /\omega$ 非整数时，，为有理数时，仍是周期序列，其周期大于 $2\pi /\omega$ ；例如序列 $x(n)=2cos(\frac{3\pi }{4}n+7)$ 中 $2\pi /\omega=\frac{8}{3}$ 为有理数，取k=3，得周期N=8；
当 $2\pi /\omega$ 为无理数时，任何k都不能使N为正整数，这时正弦序列不是周期序列；例如， $\omega _{0}=\frac{1}{4}$ 、 $sin(\omega _{0}n)$ 不是周期序列；

二、序列的运算

1. 序列的移位

设序列为x(n)，则序列y(n)=x(n-m)表示将序列x(n)进行移位

m为正时，x(n-m)：x(n)逐项依次延时（右移）m位；
m为正时，x(n+m)：x(n)逐项依次超前（左移）m位；
m为负时，则相反；

2. 序列的翻转

设序列为x(n)，则序列y(n)=x(-n)表示以n=0的纵轴为对称轴将序列进行翻转；

3. 时间尺度（比例）变换

设序列为x(n)，m为正整数，则序列

（1）抽取序列： y(n)=x(mn)

（2）插值序列：

（3）x(mn)和x(n/m)定义为对x(n)的时间尺度变换；

x(n/m)：对x(n)进行零值内插运算

表示原序列x(n)相邻两点之间插入m-1个零值点；
保留x(n)；

三、时域离散系统

1. 线性系统

满足叠加定理
叠加定理包括可加性和齐次性两方面性质

（1）设系统输入序列与输出序列分别为y1(n)=T[x1(n)]，y2(n)=T[x2(n)]：

可加性：如果系统的输入之和与输出之和满足 T[x1(n)+x2(n)]=y1(n)+y2(n)；
其次性：设a为尝试，系统的输入增大a倍，输出也增大a倍；T[ax1(n)=ay1(n)
两公式结合起来：y(n)=T[ax1(n)+bx2(n)]=ay1(n)+ay2(n)

（2）满足上式则为线性系统，否则为非线性系统；

2. 时不变系统

系统的响应与输入信号施加于系统的时刻无关
运算关系在整个运算过程中不随时间变化

（1）输入序列x(n)移动任意m位后，输出序列y(n)也移动m位，数值却保持不变：

y(n)=T[x(n)] y(n-m)=T[x(n-m)] m位任意常数

3. 线性时不变系统

既满足叠加定理，又满足时不变性的系统

4. 系统的因果性

（1）定义：系统某时刻的输出y(n)只取决于此时刻x(n)和以前的输入x(n-1),x(n-2)…而和以后的n时刻无关；

（2）线性时不变系统具有因果性的充要条件 h(n)=0,n<0

5. 系统的稳定性

（1）定义：系统的每个有界输入，对应产生的输出都有界

只要找出一个特别的有界输入，对应的输出都是无界的，则该系统是不稳定的；
必须证明所以有界输入，其输出都是有界的，则系统稳定；

（2）线性时不变系统的充要条件是其单位脉冲响应绝对可和，即 $\sum_{n=-\infty }^{\infty }\left | h(n) \right |< +\infty$ ;