基于NEON优化的扩展卡尔曼滤波（EKF）教程

发布于：2024-06-28 ⋅ 阅读:(11) ⋅ 点赞:(0)

基于NEON优化的扩展卡尔曼滤波（EKF）教程

1. 简介

扩展卡尔曼滤波（Extended Kalman Filter，简称EKF）是一种用于处理非线性系统的状态估计方法。它扩展了标准卡尔曼滤波器，使其适用于非线性系统。EKF在许多领域中都有广泛应用，如机器人导航、目标跟踪和控制系统。

本教程将详细讲解如何使用NEON（ARM的SIMD扩展）来优化EKF的实现。我将首先介绍EKF的基本原理，然后通过C语言代码示例展示如何使用NEON优化矩阵运算，最后给出完整的仿真运行实例。

2. EKF的基本原理

EKF的工作流程分为两个主要步骤：预测步骤和更新步骤。

2.1 预测步骤

在预测步骤中，我们利用系统的状态转移模型来预测当前时刻的状态和协方差矩阵。预测公式如下：

  1. 预测状态向量： x ^ k ∣ k − 1 = f ( x ^ k − 1 ∣ k − 1 ) \hat{x}_{k|k-1} = f(\hat{x}_{k-1|k-1}) x^k∣k−1​=f(x^k−1∣k−1​)
  2. 预测协方差矩阵： P k ∣ k − 1 = F k P k − 1 ∣ k − 1 F k T + Q k P_{k|k-1} = F_{k} P_{k-1|k-1} F_{k}^T + Q_{k} Pk∣k−1​=Fk​Pk−1∣k−1​FkT​+Qk​

其中， x ^ k ∣ k − 1 \hat{x}_{k|k-1} x^k∣k−1​ 是预测的状态向量， P k ∣ k − 1 P_{k|k-1} Pk∣k−1​ 是预测的协方差矩阵， f ( ⋅ ) f(\cdot) f(⋅) 是状态转移函数， F k F_{k} Fk​ 是状态转移矩阵， Q k Q_{k} Qk​ 是过程噪声协方差矩阵。

2.2 更新步骤

在更新步骤中，我们利用观测值来修正预测的状态和协方差矩阵。更新公式如下：

  1. 计算卡尔曼增益： K k = P k ∣ k − 1 H k T ( H k P k ∣ k − 1 H k T + R k ) − 1 K_{k} = P_{k|k-1} H_{k}^T (H_{k} P_{k|k-1} H_{k}^T + R_{k})^{-1} Kk​=Pk∣k−1​HkT​(Hk​Pk∣k−1​HkT​+Rk​)−1
  2. 更新状态向量： x ^ k ∣ k = x ^ k ∣ k − 1 + K k ( z k − h ( x ^ k ∣ k − 1 ) ) \hat{x}_{k|k} = \hat{x}_{k|k-1} + K_{k} (z_{k} - h(\hat{x}_{k|k-1})) x^k∣k​=x^k∣k−1​+Kk​(zk​−h(x^k∣k−1​))
  3. 更新协方差矩阵： P k ∣ k = ( I − K k H k ) P k ∣ k − 1 P_{k|k} = (I - K_{k} H_{k}) P_{k|k-1} Pk∣k​=(I−Kk​Hk​)Pk∣k−1​

其中， K k K_{k} Kk​ 是卡尔曼增益， z k z_{k} zk​ 是观测值， h ( ⋅ ) h(\cdot) h(⋅) 是观测函数， H k H_{k} Hk​ 是观测矩阵， R k R_{k} Rk​ 是观测噪声协方差矩阵。

3. NEON优化

NEON是ARM架构的一种高级SIMD（单指令多数据）指令集扩展，可以加速许多运算密集型任务。利用NEON可以显著提高矩阵运算的效率。我们将在以下代码示例中展示如何使用NEON进行矩阵乘法。

4. 示例代码

下面是一个使用NEON优化的EKF实现示例。为了简化，我们假设所有矩阵都是4x4的。

4.1 NEON矩阵乘法函数

首先，实现一个使用NEON的矩阵乘法函数：

#include <arm_neon.h>

void matrix_multiply_neon(float32_t* A, float32_t* B, float32_t* C) {
    // 加载矩阵A的每一行到NEON寄存器
    float32x4_t row1 = vld1q_f32(A);      // 加载A的第1行
    float32x4_t row2 = vld1q_f32(A + 4);  // 加载A的第2行
    float32x4_t row3 = vld1q_f32(A + 8);  // 加载A的第3行
    float32x4_t row4 = vld1q_f32(A + 12); // 加载A的第4行

    for (int i = 0; i < 4; i++) {
        // 加载矩阵B的每一列
        float32x4_t col = {B[i], B[i + 4], B[i + 8], B[i + 12]};
        float32x4_t res;

        // 计算矩阵乘法结果的每一个元素
        res = vmulq_laneq_f32(row1, col, 0); // A的第1行和B的第i列的第1个元素相乘
        res = vmlaq_laneq_f32(res, row2, col, 1); // A的第2行和B的第i列的第2个元素相乘，并累加
        res = vmlaq_laneq_f32(res, row3, col, 2); // A的第3行和B的第i列的第3个元素相乘，并累加
        res = vmlaq_laneq_f32(res, row4, col, 3); // A的第4行和B的第i列的第4个元素相乘，并累加

        // 将结果存储到矩阵C中
        vst1q_f32(C + i * 4, res);
    }
}

4.2 EKF预测步骤

然后，实现EKF的预测步骤：

void ekf_predict_neon(float32_t* x, float32_t* F, float32_t* P, float32_t* Q, int dim) {
    // 状态预测： x = F * x
    // 使用NEON优化矩阵乘法
    float32_t x_new[dim];
    matrix_multiply_neon(F, x, x_new);
    memcpy(x, x_new, dim * sizeof(float32_t));

    // 协方差预测： P = F * P * F' + Q
    float32_t FP[dim * dim];
    matrix_multiply_neon(F, P, FP);

    float32_t FPFT[dim * dim];
    matrix_multiply_neon(FP, F, FPFT);

    // P = FPFT + Q
    for (int i = 0; i < dim * dim; i++) {
        P[i] = FPFT[i] + Q[i];
    }
}

4.3 EKF更新步骤

接下来，实现EKF的更新步骤：

void ekf_update_neon(float32_t* x, float32_t* P, float32_t* H, float32_t* R, float32_t* z, int dim) {
    // 计算卡尔曼增益 K = P * H' * (H * P * H' + R)^{-1}
    float32_t PHt[dim * dim];
    matrix_multiply_neon(P, H, PHt);

    float32_t HPHt[dim * dim];
    matrix_multiply_neon(H, PHt, HPHt);

    float32_t HPHtR[dim * dim];
    for (int i = 0; i < dim * dim; i++) {
        HPHtR[i] = HPHt[i] + R[i];
    }

    // 假设我们有一个矩阵求逆函数 inverse_matrix()
    float32_t HPHtR_inv[dim * dim];
    inverse_matrix(HPHtR, HPHtR_inv, dim);

    float32_t K[dim * dim];
    matrix_multiply_neon(PHt, HPHtR_inv, K);

    // 更新状态 x = x + K * (z - H * x)
    float32_t Hx[dim];
    matrix_multiply_neon(H, x, Hx);

    float32_t z_minus_Hx[dim];
    for (int i = 0; i < dim; i++) {
        z_minus_Hx[i] = z[i] - Hx[i];
    }

    float32_t Kz_minus_Hx[dim];
    matrix_multiply_neon(K, z_minus_Hx, Kz_minus_Hx);

    for (int i = 0; i < dim; i++) {
        x[i] += Kz_minus_Hx[i];
    }

    // 更新协方差 P = (I - K * H) * P
    float32_t KH[dim * dim];
    matrix_multiply_neon(K, H, KH);

    float32_t I[dim * dim];
    for (int i = 0; i < dim * dim; i++) {
        I[i] = (i / dim == i % dim) ? 1.0 : 0.0;
    }

    float32_t I_minus_KH[dim * dim];
    for (int i = 0; i < dim * dim; i++) {
        I_minus_KH[i] = I[i] - KH[i];
    }

    float32_t P_new[dim * dim];
    matrix_multiply_neon(I_minus_KH, P, P_new);
    memcpy(P, P_new, dim * dim * sizeof(float32_t));
}

4.4 主函数与仿真运行实例

最后，我们将所有部分组合在一起，形成一个完整的EKF仿真运行实例：

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <arm_neon.h>

// NEON矩阵乘法函数
void matrix_multiply_neon(float32_t* A, float32_t* B, float32_t* C);
void ekf_predict_neon(float32_t* x, float32_t* F, float32_t* P, float32_t* Q, int dim);
void ekf_update_neon(float32_t* x, float32_t* P, float32_t* H, float32_t* R, float32_t* z, int dim);
void inverse_matrix(float32_t* mat, float32_t* inv, int dim); // 假设已经实现

int main() {
    int dim = 4;
    float32_t x[4] = {1.0, 2.0, 3.0, 4.0}; // 初始状态
    float32_t F[16] = {
        1, 0, 0, 0,
        0, 1, 0, 0,
        0, 0, 1, 0,
        0, 0, 0, 1
    }; // 状态转移矩阵
    float32_t P[16] = {
        1, 0, 0, 0,
        0, 1, 0, 0,
        0, 0, 1, 0,
        0, 0, 0, 1
    }; // 初始协方差矩阵
    float32_t Q[16] = {
        0.1, 0, 0, 0,
        0, 0.1, 0, 0,
        0, 0, 0.1, 0,
        0, 0, 0, 0.1
    }; // 过程噪声协方差矩阵
    float32_t H[16] = {
        1, 0, 0, 0,
        0, 1, 0, 0,
        0, 0, 1, 0,
        0, 0, 0, 1
    }; // 观测矩阵
    float32_t R[16] = {
        0.1, 0, 0, 0,
        0, 0.1, 0, 0,
        0, 0, 0.1, 0,
        0, 0, 0, 0.1
    }; // 观测噪声协方差矩阵
    float32_t z[4] = {1.1, 1.9, 3.1, 4.2}; // 测量值

    printf("Initial state x: ");
    for (int i = 0; i < dim; i++) {
        printf("%f ", x[i]);
    }
    printf("\n");

    // 执行预测步骤
    ekf_predict_neon(x, F, P, Q, dim);

    printf("Predicted state x: ");
    for (int i = 0; i < dim; i++) {
        printf("%f ", x[i]);
    }
    printf("\n");

    // 执行更新步骤
    ekf_update_neon(x, P, H, R, z, dim);

    printf("Updated state x: ");
    for (int i = 0; i < dim; i++) {
        printf("%f ", x[i]);
    }
    printf("\n");

    return 0;
}

// NEON矩阵乘法函数
void matrix_multiply_neon(float32_t* A, float32_t* B, float32_t* C) {
    // 加载矩阵A的每一行到NEON寄存器
    float32x4_t row1 = vld1q_f32(A);      // 加载A的第1行
    float32x4_t row2 = vld1q_f32(A + 4);  // 加载A的第2行
    float32x4_t row3 = vld1q_f32(A + 8);  // 加载A的第3行
    float32x4_t row4 = vld1q_f32(A + 12); // 加载A的第4行

    for (int i = 0; i < 4; i++) {
        // 加载矩阵B的每一列
        float32x4_t col = {B[i], B[i + 4], B[i + 8], B[i + 12]};
        float32x4_t res;

        // 计算矩阵乘法结果的每一个元素
        res = vmulq_laneq_f32(row1, col, 0); // A的第1行和B的第i列的第1个元素相乘
        res = vmlaq_laneq_f32(res, row2, col, 1); // A的第2行和B的第i列的第2个元素相乘，并累加
        res = vmlaq_laneq_f32(res, row3, col, 2); // A的第3行和B的第i列的第3个元素相乘，并累加
        res = vmlaq_laneq_f32(res, row4, col, 3); // A的第4行和B的第i列的第4个元素相乘，并累加

        // 将结果存储到矩阵C中
        vst1q_f32(C + i * 4, res);
    }
}

// EKF预测步骤
void ekf_predict_neon(float32_t* x, float32_t* F, float32_t* P, float32_t* Q, int dim) {
    // 状态预测： x = F * x
    // 使用NEON优化矩阵乘法
    float32_t x_new[dim];
    matrix_multiply_neon(F, x, x_new);
    memcpy(x, x_new, dim * sizeof(float32_t));

    // 协方差预测： P = F * P * F' + Q
    float32_t FP[dim * dim];
    matrix_multiply_neon(F, P, FP);

    float32_t FPFT[dim * dim];
    matrix_multiply_neon(FP, F, FPFT);

    // P = FPFT + Q
    for (int i = 0; i < dim * dim; i++) {
        P[i] = FPFT[i] + Q[i];
    }
}

// EKF更新步骤
void ekf_update_neon(float32_t* x, float32_t* P, float32_t* H, float32_t* R, float32_t* z, int dim) {
    // 计算卡尔曼增益 K = P * H' * (H * P * H' + R)^{-1}
    float32_t PHt[dim * dim];
    matrix_multiply_neon(P, H, PHt);

    float32_t HPHt[dim * dim];
    matrix_multiply_neon(H, PHt, HPHt);

    float32_t HPHtR[dim * dim];
    for (int i = 0; i < dim * dim; i++) {
        HPHtR[i] = HPHt[i] + R[i];
    }

    // 假设我们有一个矩阵求逆函数 inverse_matrix()
    float32_t HPHtR_inv[dim * dim];
    inverse_matrix(HPHtR, HPHtR_inv, dim);

    float32_t K[dim * dim];
    matrix_multiply_neon(PHt, HPHtR_inv, K);

    // 更新状态 x = x + K * (z - H * x)
    float32_t Hx[dim];
    matrix_multiply_neon(H, x, Hx);

    float32_t z_minus_Hx[dim];
    for (int i = 0; i < dim; i++) {
        z_minus_Hx[i] = z[i] - Hx[i];
    }

    float32_t Kz_minus_Hx[dim];
    matrix_multiply_neon(K, z_minus_Hx, Kz_minus_Hx);

    for (int i = 0; i < dim; i++) {
        x[i] += Kz_minus_Hx[i];
    }

    // 更新协方差 P = (I - K * H) * P
    float32_t KH[dim * dim];
    matrix_multiply_neon(K, H, KH);

    float32_t I[dim * dim];
    for (int i = 0; i < dim * dim; i++) {
        I[i] = (i / dim == i % dim) ? 1.0 : 0.0;
    }

    float32_t I_minus_KH[dim * dim];
    for (int i = 0; i < dim * dim; i++) {
        I_minus_KH[i] = I[i] - KH[i];
    }

    float32_t P_new[dim * dim];
    matrix_multiply_neon(I_minus_KH, P, P_new);
    memcpy(P, P_new, ```c
dim * sizeof(float32_t));
}

// 假设我们有一个矩阵求逆函数的实现
void inverse_matrix(float32_t* mat, float32_t* inv, int dim) {
    // 这里使用一个简单的求逆算法实现，实际应用中应使用更高效的求逆算法
    // 例如LU分解、QR分解等方法
    for (int i = 0; i < dim * dim; i++) {
        inv[i] = 0.0;
    }
    for (int i = 0; i < dim; i++) {
        inv[i * dim + i] = 1.0 / mat[i * dim + i];
    }
}

4.5 仿真运行实例解释

在上面的代码中，我们首先定义了一个主函数，初始化了EKF所需的所有矩阵和状态向量，并调用ekf_predict_neon和ekf_update_neon函数来执行EKF的预测和更新步骤。

预测步骤：

  1. 状态预测：

    • 使用状态转移矩阵F和当前状态x来计算预测的状态向量。这个操作使用了NEON优化的矩阵乘法。
    • 将结果存储到x中。

  2. 协方差预测：

    • 使用状态转移矩阵F和当前协方差矩阵P来计算中间结果FP。
    • 再次使用状态转移矩阵F和中间结果FP来计算预测的协方差矩阵FPFT。
    • 最后，将过程噪声协方差矩阵Q加到FPFT上，得到预测的协方差矩阵P。
更新步骤：

  1. 卡尔曼增益计算：

    • 计算预测协方差矩阵P和观测矩阵H的乘积，得到中间结果PHt。
    • 使用观测矩阵H和中间结果PHt计算观测噪声协方差矩阵HPHt。
    • 将观测噪声协方差矩阵R加到HPHt上，得到HPHtR。
    • 计算HPHtR的逆矩阵HPHtR_inv，并与PHt相乘，得到卡尔曼增益K。

  2. 状态更新：

    • 使用观测矩阵H和当前状态x计算观测预测Hx。
    • 计算观测值z和观测预测Hx的差值，得到z_minus_Hx。
    • 使用卡尔曼增益K和z_minus_Hx计算状态修正量Kz_minus_Hx。
    • 将状态修正量加到当前状态x上，得到更新后的状态向量x。

  3. 协方差更新：

    • 计算卡尔曼增益K和观测矩阵H的乘积，得到KH。
    • 计算单位矩阵I减去KH，得到I_minus_KH。
    • 使用I_minus_KH和预测协方差矩阵P计算更新后的协方差矩阵P。

5. 性能优化与注意事项

在实际应用中，NEON优化可以显著提高矩阵运算的效率。然而，在实现过程中需要注意以下几点：

  1. 数据对齐：

    • NEON指令集对数据对齐有严格的要求，确保输入数据在内存中是16字节对齐的。
    • 使用posix_memalign或aligned_alloc等函数分配对齐内存。

  2. 矩阵求逆：

    • 矩阵求逆是一个计算密集型操作，可以使用高效的数值算法，如LU分解或QR分解。
    • 对于大规模矩阵，考虑使用专业的数学库（如OpenBLAS或Eigen）来进行矩阵求逆。

  3. 并行化：

    • NEON提供了单指令多数据（SIMD）并行化能力，可以在一次指令操作中处理多个数据。
    • 对于更高层次的并行化，可以结合多线程或GPGPU技术进一步提升性能。

6. 总结

本教程详细介绍了扩展卡尔曼滤波（EKF）的原理，并展示了如何使用ARM的NEON指令集优化EKF的实现。通过使用NEON进行矩阵乘法优化，我们可以显著提高EKF的运行效率。此外，还介绍了在实际应用中需要注意的性能优化和实现细节。

希望通过本教程，您能深入了解EKF的工作原理，并掌握如何利用NEON指令集进行高效的矩阵运算优化。

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