数据结构之算法的时间复杂度

1.时间复杂度的定义

在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了算法的运行时间。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比列，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度

例1：

计算Func1中++count执行的次数

void Func1(int N)
{
    int count = 0;
    for(int i = 0; i < N; ++i)
    {
        for(int j = 0; j < N; ++j)
        {
            ++count;
        }
    }
    for(int i = 0; i < 2 * N; ++i)
    {
        ++count;
    }
    int M = 10;
    while(M--)
    {
        ++count;    
    }
    printf("%d\n", count);
}

Func1的基本操作次数：F(N) = N^2 + 2 * N + 10来分析一下是为什么？

首先可以看到这段代码有三个循环

第一个是由两个for内外嵌套组成：每次循环N次，执行了N次，即N + N + N.....=N * N = N^2 次

第二个循环执行了 2*N 次

第三个循环执行了 10 次

如果每个时间复杂度都要这么表示的话那太复杂了，所以我们只取最大量级来表示这段代码的时间复杂度

当N  = 10时：F(N) = 130

当N = 20时：F(N) = 10210

当N = 30时：F(N) = 1002010

当我们的N取无穷大时 2 * N + 10这两个项对结果的影响已经不大了可以忽略不计，所以说只需要取N^2来表示它的时间复杂度就可以了

所以这段代码Func1的时间复杂度为: O(N ^ 2)

2.大O的渐进表示法

大O符号(Big O notation)：是用于描述函数渐进行为的数学符号

推导大O阶方法：

（1）.用常数1来取代运行时间中的所有加法常数

（2）.在修改后的运行次数的函数中，只保留最高阶项

（3）.如果最高阶存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数，得到的结果就是大O阶

通过上面一个例子我们可以发现大O渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数

我们来计算几道代码的时间复杂度

例1：

void Func2(int N)
{
    int count = 0;
    for(int i = 0; i < 2 * N; i++)
    {
        ++count;
    }
    int M = 10;
    while(M--)
    {
        ++count; 
    }
    printf("%d", count);
}

F(N) = 2 * N +10

去掉与最高阶相乘的常熟和10使用大O渐进法表示法该段代码的时间复杂度为：O(N)

例2：

void Func3(int M, int N)
{
    int count = 0;
    for(int i = 0; i < M; i++)
    {
        ++count;
    }
    
    for(int j = 0; j < N; j++)
    {
        ++count;
    }
    printf("%d\n", count);
}

使用大O渐进法表示法该段代码的时间复杂度为：O(N + M)

因为M和N是未知的所以不能去掉它们两个任意一个

如果N大于M，则可以去掉M，反之可以去掉N，相等可任取M和N中任何一个

例3：

void Func4(int N)
{
    int count = 0;
    for(i = 0; i < 100: i++)
    {
        ++count;
    }
    printf("%d\n", count);
}

F(N) = 100

执行了100次，但是我们用1来表示

使用大O渐进法表示法该段代码的时间复杂度为：O(1)  

注：这里的1表示代表1次，而是常数次

3.时间复杂度的最好，最坏和平均情况

另外有些算法的时间复杂度存在最好，平均，最坏情况：

最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)

平均情况：任意输入规模的期望运行次数

最好情况：任意输入规模最小运行次数(下界)

例4：

char* strchr(const char * str, int character)
{
    while(*Str)
    {
        if(*str == character)
        {
           return str;
        }
        str++;
    }
    return NULL;
}

例如：在一个长度为N的数组中找一个数据x

最好情况：1次找到

平均情况：N/2次找到

最坏情况：N次找到

在实际情况中一般关注的是算法的最坏运行情况，所以该段代码的时间复杂度为：O(N)

例5：

void BubbleSort(int *a, int n)
{
    assert(a);
    for(int end = n; end > 1; --end)
    {
        for(int i = 1; i < end; i++)
        {
            if(a[i - 1] > a[i])
            {
               int tmp = a[i];
               a[i] = a[i + 1];
               a[i + 1] = tmp;
            }
        }
    }
}

最好情况：O(N)

最坏情况将两个for循环跑满

外循环为n时，内循环循环n - 1次  然后按顺序n - 2, n-3, ....., 3, 2, 1通过判断可以知道这是一个等差数列，所以它的总和就为：n(n - 1 + 1)/2 = n^2*1/2 即最坏情况：O(N^2)

使用大O渐进法表示法去掉常数该段代码的时间复杂度为：O(N^2)  

例6：

在数组有序的情况下：可以使用二分法（折半查找）

int binarysearch(int *a，int n, int x)
{
    int begin = 0;
    int end = n - 1;
    while(begin <= end)
    {
          int mid = begin + ((end - begin)>>1);
          if(a[mid] > x)
          {
             end = a[mid] - 1;
          }
          else if(a[mid] < x)
          {
             begin = a[mid] + 1;
          }
          else
          {
             return mid;
          }
    }
    return -1;
}

最好情况：O(1)

最坏情况：区间缩放到一个值，要么找到，要么找不到，假设N为数组个数，x是最坏查找次数N每次除2就等于查找一次，折半查找多少次就除多少个2

N/2/2/2..../2 = 1, 因为n为int所以最小二分到1，2^x = N 即：x = logN（log在时间复杂度中表示以2为底）所以最坏情况：O(logN)

例7：

long long fac(size_t N)
{
    if(N == 0)
    return 1;
    else
    return fac(N - 1) * N;
}

使用大O渐进法表示法该段代码的时间复杂度为：O(N)

例8：

long long Fib(int n)
{
    if(n < 3)
    {
        return 1;
    }
    else
    {
        return Fib(n - 1) + Fib(n - 2);
    }
}

最好情况：O(1)

可以观察到该递归的方式为等差数列我们用求和公式可以得出：2^(N-1)-1

最坏情况用大O渐进表示法：O(2^N)

总结以上时间复杂度：O(1)>O(logN)>O(N)>O(N^2)>O(N^3)>O(2*N)