本文发表于:ICML22
推荐指数: #paper/⭐⭐⭐
问题背景:
异配图的邻接矩阵难以确定,以及异配图的计算复杂度开销大
可行的解决办法:高通滤波+多跳邻居,GPRGNN(pagerank一类，各阶邻居的权重不同,ACM-GCN（高低通滤波,H2GCN（应该复杂度很大） WRGAT，GGCN（signed message） LINKX（MLP+graph）
模型
方法:两个MLP学习X和A,拼接后卷积
H X ( 0 ) = M L P 1 ( X ) , H A ( 0 ) = M L P 2 ( A ) H_X^{(0)}=M\mathrm{LP}_1(X),~H_A^{(0)}=\mathrm{MLP}_2(A) HX(0)=MLP1(X), HA(0)=MLP2(A)
仿照APPNP,再加上初等残差:
H ( 0 ) = ( 1 − α ) H X ( 0 ) + α H A ( 0 ) H^{(0)}=(1-\alpha)H_X^{(0)}+\alpha H_A^{(0)} H(0)=(1−α)HX(0)+αHA(0)
H ( l ) = ( 1 − γ ) Z ( l ) H ( l ) + γ H ( 0 ) + O ( l ) H^{(l)}=(1-\gamma)Z^{(l)}H^{(l)}+\gamma H^{(0)}+O^{(l)} H(l)=(1−γ)Z(l)H(l)+γH(0)+O(l)
我们可以得到下面优化问题:
min Z ( l ) ∥ H ( l ) − ( 1 − γ ) Z ( l ) H ( l ) − γ H ( 0 ) ∥ F 2 + β 1 ∥ Z ( l ) ∥ F 2 + β 2 ∥ Z ( l ) − ∑ k = 1 K λ k A ^ k ∥ F 2 \min_{Z^{(l)}}\|H^{(l)}-(1-\gamma)Z^{(l)}H^{(l)}-\gamma H^{(0)}\|_{F}^{2}+\beta_{1}\|Z^{(l)}\|_{F}^{2}+\beta_{2}\|Z^{(l)}-\sum_{k=1}^{K}\lambda_{k}\hat{A}^{k}\|_{F}^{2} Z(l)min∥H(l)−(1−γ)Z(l)H(l)−γH(0)∥F2+β1∥Z(l)∥F2+β2∥Z(l)−k=1∑KλkA^k∥F2
第一项是优化问题,第二项是F范数,第三项是逼近Z与多跳邻居
可得Z:
Z ( l ) ∗ = [ ( 1 − γ ) H ( l ) ( H ( l ) ) T + β 2 ∑ k = 1 K λ k A ^ k − γ ( 1 − γ ) H ( 0 ) ( H ( l ) ) T ] [ ( 1 − γ ) 2 H ( l ) ( H ( l ) ) T + ( β 1 + β 2 ) I n ] − 1 \begin{aligned} Z^{(l)*}& =\left[(1-\gamma)H^{(l)}(H^{(l)})^T+\beta_2\sum_{k=1}^K\lambda_k\hat{A}^k-\gamma(1-\gamma)H^{(0)}(H^{(l)})^T\right] \\ &\left[\left(1-\gamma\right)^2H^{(l)}(H^{(l)})^T+(\beta_1+\beta_2)I_n\right]^{-1} \end{aligned} Z(l)∗=[(1−γ)H(l)(H(l))T+β2k=1∑KλkA^k−γ(1−γ)H(0)(H(l))T][(1−γ)2H(l)(H(l))T+(β1+β2)In]−1
计算加速
H ( l + 1 ) = ( 1 − γ ) Z ( l ) ∗ H ( l ) + γ H ( 0 ) . H^{(l+1)}=(1-\gamma)Z^{(l)*}H^{(l)}+\gamma H^{(0)}. H(l+1)=(1−γ)Z(l)∗H(l)+γH(0).
H ( l + 1 ) = ( 1 − γ ) H ( l ) ( H ( l ) ) T Q ( l + 1 ) + β 2 ∑ k = 1 K λ k A ^ k Q ( l + 1 ) − γ ( 1 − γ ) H ( 0 ) ( H ( l ) ) T Q ( l + 1 ) + γ H ( 0 ) \begin{gathered} H^{(l+1)}= (1-\gamma)H^{(l)}(H^{(l)})^TQ^{(l+1)}+\beta_2\sum_{k=1}^K\lambda_k\hat{A}^kQ^{(l+1)} \\ -\gamma(1-\gamma)H^{(0)}(H^{(l)})^TQ^{(l+1)}+\gamma H^{(0)} \end{gathered} H(l+1)=(1−γ)H(l)(H(l))TQ(l+1)+β2k=1∑KλkA^kQ(l+1)−γ(1−γ)H(0)(H(l))TQ(l+1)+γH(0)
其中, Q ( l + 1 ) = 1 − γ β 1 + β 2 H ( l ) − 1 − γ ( β 1 + β 2 ) 2 H ( l ) . [ 1 ( 1 − γ ) 2 I c + 1 β 1 + β 2 ( H ( l ) ) T H ( l ) ] − 1 ( H ( l ) ) T H ( l ) \begin{aligned} Q^{(l+1)}=& \frac{1-\gamma}{\beta_1+\beta_2}H^{(l)}-\frac{1-\gamma}{(\beta_1+\beta_2)^2}H^{(l)}. \\ &\left[\frac1{(1-\gamma)^2}I_c+\frac1{\beta_1+\beta_2}(H^{(l)})^TH^{(l)}\right]^{-1}(H^{(l)})^TH^{(l)} \end{aligned} Q(l+1)=β1+β21−γH(l)−(β1+β2)21−γH(l).[(1−γ)21Ic+β1+β21(H(l))TH(l)]−1(H(l))TH(l)
Group Effective
Definition 4. 1. ( Grouping effect ( Li et al. , 2020) ) . Given \textbf{Definition 4. 1. }( \textbf{Grouping effect ( Li et al. , 2020) ) . Given} Definition 4. 1. (Grouping effect ( Li et al. , 2020) ) . Given,a set of nodes V = { v i } i = 1 n \mathcal{V}=\{v_i\}_{i=1}^n V={vi}i=1n, let v i → v j v_i\to v_j vi→vj denote the condi-tion that ( 1 ) ∥ x i − x j ∥ 2 → 0 (1)\left\|x_i-x_j\right\|_2\to0 (1)∥xi−xj∥2→0 and ( 2 ) ∥ a ^ i k − a ^ j k ∥ 2 → 0 ( 2) \left \| \hat{a} _i^k- \hat{a} _j^k\right \| _2\to 0 (2)
a^ik−a^jk
2→0, ∀ k ∈ \forall k\in ∀k∈ [ 1 , K ] . [1,K]. [1,K]. A matrix Z Z Z is said to have grouping effect if
v i → v j ⇒ ∣ Z i p − Z j p ∣ → 0 , ∀ 1 ≤ p ≤ n . v_i\to v_j\Rightarrow|Z_{ip}-Z_{jp}|\to0,\forall1\leq p\leq n. vi→vj⇒∣Zip−Zjp∣→0,∀1≤p≤n.
对于任意两个节点vi和vj，无论它们在图中有多远，如果它们共享相似的特征向量和局部结构，我们都可以得出结论:（1），它们将被给予相似的系数向量；（2），它们将在描述其他节点时扮演相似的角色；而（3），它们将得到相似的表示向量。另一方面，在具有异质性的图中，相邻的节点更有可能出现不同的情况，因此它们会得到不同的嵌入。此外，对于特征相似度较低的两个节点，如果它们具有较高的结构相似性，则可以通过局部图结构的正则化项来增强其表征
GloGNN++
之前的这个H矩阵是 纵向的 attention，即 节点和 邻居之间的。 这里提出 横向的 attention，就是自身节点特征的重要性不同，采用常规的方法,增加一个对角矩阵作为每一维特征的attention
讨论
1.GAT中的权重是自动学习的，缺乏可解释性，但我们的模型中的Z(l)是来自一个精心设计良好的优化问题，并且有一个封闭的解
2.其次，GAT中的注意权值总是非负值，而我们的方法中的Z(l)允许有符号值。因此，GAT只使用低通卷积滤波器，而我们的方法同时结合了低通和高通滤波器。
3.对于每个节点，GAT对图中所有节点执行的邻域聚合计算代价昂贵，具有二次时间复杂度w.r.t.节点数。然而，我们的方法加速了聚合，并推导出了一个线性的时间复杂度