机器学习---线性回归

1、线性回归

例如：对于一个房子的价格，其影响因素有很多，例如房子的面积、房子的卧室数量、房子的卫生间数量等等都会影响房子的价格。这些影响因子不妨用$x_i$表示，那么房价$y$可以用如下公式表示：
$$y=w_1{x}_1+w_2{x}_2+w_3{x}_3+b$$
其中$w_i$表示特征$i$的权重，$b$表示偏置，也称作截距，当然在实际问题中，$x_i$为$0$时$y$肯定为$0$而不可能为$b$，但是加上偏置后可以是模型的拟合效果更好。

2、损失的衡量

在分类问题时，我们可以用准确率(预测正确的数量/测试集总样本数量)，而在回归任务时，衡量误差的损失函数通常使用均方误差，设$y^{\prime }$是预测值，$y$是真实值，则损失函数为:
$$loss=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\frac{1}{2}(y_i^{\prime }-y{)}^2$$
这个又称作均方误差，前面的系数$\frac{1}{2}$是为了求导后与平方项的$2$相乘时得到$1$
可知，均方误差越小，拟合效果越好。反之拟合效果越差。
另外一个重要的衡量指标为$R^2$系数，当$R^2<0.3$时，拟合能力

3、优化损失

对于损失较大的时候，如何优化权重$w$和$b$使其让我们的均方误差尽可能的小。这里提供两种方法。
a)使用正规方程进行优化
b)使用梯度下降进行优化。
正规方程依次即可求得最优解，而梯度下降法需要逐次迭代，寻找出最优解。但是对于大规模的数据集，通常是采用梯度下降进行优化，而正规方程在小规模数据集的优化上表现略由于梯度下降。

4、线性回归API及其调用

在sklearn中提供了线性回归的API，根据优化方法不同，分为以下两种：

sklearn.linear_model.LinearRegression(fit_intercept=True)
通过正规方程进行优化
fit_intercept:是否计算偏置，默认为True,不计算偏置则模型一定过原点
LinearRegression.coef_:回归系数
LinearRegression。intercept_:偏置

sklearn.linear_model.SGDRegressor(loss='squared_loss', fit_intercept=True, learning_rate ='invscaling', eta0=0.01)
loss:损失类型，loss='squared_loss'  普通最小二乘法
fit_intercept:是否计算偏置
learning_rate：学习率

5、线性回归实例–波士顿房价预测(数据集点我）

RM: 每个住宅的平均房间数
LSTAT: 区域内房东的地位，表示低收入人群的百分比
PTRATIO: 区域内学生和教师的比例
MEDV: 自住房的中位数价值，以千美元为单位

import pandas as pd
data = pd.read_csv('housing.csv',sep=',')

# 检查是否具有缺失值，全部为False,说明没有缺失值
pd.isnull(data).any()

# 数据集的切分
from sklearn.model_selection import train_test_split
x_train,x_test,y_train,y_test = train_test_split(data[['RM','LSTAT','PTRATIO']],data.MEDV,train_size=0.8)
# 数据归一化
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
transfer = StandardScaler()
x_train=transfer.fit_transform(x_train)
x_test=transfer.transform(x_test)
import matplotlib.pyplot as plt
plt.rcParams['font.family']='STFangsong'
# 创建一个画布，分成三个绘图区，查看每个变量和目标值的关系
figure, axes = plt.subplots(nrows=1, ncols=3, figsize=(20, 8), dpi=80)
axes[0].scatter(data.RM,data.MEDV)
axes[1].scatter(data.LSTAT,data.MEDV)
axes[2].scatter(data.PTRATIO,data.MEDV)
# 加网格，透明度为0.5
axes[0].grid(linestyle='--',alpha=0.5)
axes[1].grid(linestyle='--',alpha=0.5)
axes[2].grid(linestyle='--',alpha=0.5)
plt.show()

# 采用回归算法进行预测
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.metrics import mean_squared_error,r2_score
# 使用正则化进行优化
estimator = LinearRegression(fit_intercept=True)
estimator.fit(x_train, y_train)
y_predict1 = estimator.predict(x_test)
print(f"r方系数为{r2_score(y_predict1,y_test)}")
print(f"方差为：{mean_squared_error(y_predict1,y_test)}")
print(f'优化后的权重参数为:{estimator.coef_},偏置为:{estimator.intercept_}')

from sklearn.linear_model import SGDRegressor
estimator = SGDRegressor(fit_intercept=True)
estimator.fit(x_train, y_train)
y_predict1 = estimator.predict(x_test)
print(f"r方系数为{r2_score(y_predict1,y_test)}")
print(f"方差为：{mean_squared_error(y_predict1,y_test)}")
print(f'优化后的权重参数为:{estimator.coef_},偏置为:{estimator.intercept_}')

观察可发现使用梯度下降优化的方差较小，可认为其预测的拟合效果更好。